第二节平面图形的面积 直角坐标系情形 二、极坐标系情形
第二节 平面图形的面积 ◼ 一、直角坐标系情形 ◼ 二、极坐标系情形 ◼ 三、小结
直角坐标系情形 y=∫(x) y宁f2(x) yi=f(r) xx+△ 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=f(x)dx 2(x)-f1(x)
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) y=r 选x为积分变量x∈|0,1 0.7口.q们nD4B1 面积元素d4=(x-x2)t ht≤/2 3 3
例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 yax y=x →(0,0),(-2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈|-2,3 (1)x∈|-2,01,d41=(x3-6x-x2)x (2)x∈|0,3l,d42=(x2-x3+6x)dk
例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
于是所求面积A=A1+A2 A=2(x3-6x-x)c+(x2-x23+6x)d 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗?
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？