第六节函数项级数的一致收敛 性及一致收敛级数的基本性质 问题的提出 二、函数项级数的一致收敛性 三、一致收敛级数的基本性质
第六节函数项级数的一致收敛 性及一致收敛级数的基本性质 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、函数项级数的一致收敛性 ◼ 三、一致收敛级数的基本性质 ◼ 四、小结
问题的提出 问题:有限个连续函数的和仍是连续函数,有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢?对于幂函数是这样的,那么对 于一般的函数项级数是否如此?
一、问题的提出 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？ 问题:
例1考察函数项级数 x+(x2-x)+(x-x2)+…+(x"-x)+ 和函数的连续性 解因为该级数每一项都在[0,1是连续的, 且s(x)=x",得和函数: s(x)=lims,(r)=yo 0≤x<1, →0 x=1 和函数(x)在x=1处间断
解 ( ) , n 且 s n x = x 得和函数： 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的， = = = → 1, 1. 0, 0 1, ( ) lim ( ) x x s x s n x n 和函数s(x)在 x = 1处间断. 例1 考察函数项级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 和函数的连续性．
结论函数项级数的每一项在{a,b上连续,并且 级数在[a,b上收敛,其和函数不一定在{a,b上 收敛.同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分 问题对什么级数,能从每一项的连续性得出和 函数的连续性,从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢?
函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b]上 收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题
函数项级数的一致收敛性 定义设有函数项级数∑un、(x)如果对于任意 H=1 给定的正数E,都存在着一个只依赖于E的自 然数N,使得当n>N时,对区间I上的一切 x,都有不等式 r,(x=s(x)s,(x)<e oo 成立,则成函数项级数∑u1(x)在区间/上一致 n=1 收敛于和s(x),也称函数序列sn(x)在区间I上 致收敛于s(x)
二、函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数 =1 ( ) n un x ．如果对于任意 给定的正数 ，都存在着一个只依赖于 的 自 然 数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式 r (x) = s(x) − s (x) n n 成立，则成函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 I上一致 收敛于和s(x)，也称函数序列s (x) n 在区间 I 上 一致收敛于s(x)． 定义