第三节幂级数 函数项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、常用已知和函数的幂级数 ■五、小结
第三节 幂级数 ◼ 一、函数项级数的一般概念 ◼ 二、幂级数及其收敛性 ◼ 三、幂级数的运算 ◼ 四、常用已知和函数的幂级数 ◼ 五、小结
函数项级数的一般概念 定义: 设u1(x),u2(x),…,un(x),…是定义在IcR上的 函数则∑u1(x)=1(x)+2(x)+…+n(x)+ n=1 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 例如级数∑x"=1+x+x2+
一、函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1 ( x),u2 ( x),,un ( x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n
2.收敛点与收敛域 如果x∈I数项级数∑n(x)收敛 】 nE 则称x为级数∑u1(x)的收敛点,否则称为发散点 n=1 函数项级数∑un(x)的所有收鲛点的全体称为收鲛域 所有发散点的全体称为发散域
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是的函数(x) 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+2(x)+…+Ln(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x), lim s(x)=(x) n→0 余项r(x)=S(x)-Sn(x) imrn(x)=0(在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
例1求级数∑)(.1)y的收敛域 G n 1+x 解由达朗贝尔判别法 uX n+1 x)n+11+x1+x (n→>∞) ()当,1<1,→1+x>1, 1+x 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1