第三节定积分的换元法飞 和分部积分法 ■变量代换公式: 定理 f(x)∈C(La,b]),x=(1)∈C([a,b]),a≤x≤b, a≤t≤B,9(a)=a,(6)=b,→ f()dx=f(o(t)o'(t)dy
第三节 定积分的换元法 和分部积分法 ◼ 变量代换公式： 定理 0 1 ( ) ([ , ]), ( ) ([ , ]), , , ( ) , ( ) , ( ) ( ( )) ( ) b a f x C a b x t C a b a x b t a b f x dx f t t dx = = = =
例1 Va2-x2dx.x=aint dx=acos tdt. va2-x a cos t (x:0~a,t:0~) 2 sin 2t =a2|2 2 cos tdt 2(1+cos 2t dt=-(t+ 0 2
◼ 例1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 , sin , cos , cos ( : 0 , : 0 ) 2 sin 2 cos (1 cos 2 ) ( ) 2 2 2 4 a t a x dx x a t dx a tdt a x a t x a t a a t a tdt t dt t a = − = = − = = = + = + =
例2 1 In(1+x) dx→ 01+x (x= tan 0, dx=sec 0d0=(1+ tan-0)dE do dx 1+3x:O~1,O:0~ 4 4 In(1+tan 0)db=4 In cos0+sin 0 0 cos°)he ∫l√2d0+nsm(O+a) 8-Jo In cos ed oln 2+Jo In cos ede- incos ede 8 In 2 8
◼ 例2 1 2 0 2 2 2 4 4 2 0 0 4 4 4 0 0 0 4 4 0 0 ln(1 ) 1 ( tan , sec (1 tan ) , , : 0 1, : 0 ) 1 4 cos sin ln(1 tan ) ln( ) cos ln 2 ln sin( ) ln cos 4 ln 2 ln cos ln cos 8 ln 2 8 x dx x x dx d d dx d x x d d d d d d d + + = = = + = + + = + = = + + − = + − =
■定积分的分部积分公式: x)y(x)dk=xx)-J(x)(x)k b →(x)h(x)=(x(x) v(xdu(x) X-a 注:这个公式发挥作用时,求x)y(x) 比较困难,而求t(x(x)x比较容易
◼ 定积分的分部积分公式： ◼ 注：这个公式发挥作用时，求 比较困难，而求 比较容易。 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b x a a a b b b x a a a u x v x dx u x v x u x v x dx u x dv x u x v x v x du x = = = − = − ( ) ( ) b a u x v x dx ( ) ( ) b a u x v x dx
例3 被积函数不 x arctan xdx 可直接积出 arctan xd() 被积函数可 以直接积出 2 3 arct anx dx x=0 02(1+x2) 3 7 x +-arct an x 232 =0 2x√3 3 2
◼ 例3 3 0 2 3 0 2 2 3 3 0 2 0 3 3 0 0 arctan arctan ( ) 2 arct an 2 2(1 ) 3 1 arct an 2 3 2 2 2 3 3 2 x x x x xdx x xd x x x dx x x x = = = = = − + = − + = − 被积函数不 可直接积出 被积函数可 以直接积出