第五节函数的幂级数 展开式的运用 近似计算 二、计算定积分 三、求数项级数的和 四、欧拉公式 五、小结
第五节 函数的幂级数 展开式的运用 ◼ 一、近似计算 ◼ 二、计算定积分 ◼ 三、求数项级数的和 ◼ 四、欧拉公式 ◼ 五、小结
近似计算 A=a1+a,+…+a,+ A≈a1+a2+…+mn 误差rn=a n+1+a n+2 十 两类问题 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度,确定项数 关健:通过估计余项确定精度或项数
一、近似计算 , A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数
常用方法: 1若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 例1计算e的近似值使其误差不超过10-3 解ex=1+x+x2+…+x"+ 2 令x=1,得e≈1+1++…
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++
余和: 十 (n+2)p 1 十 ( n (n+1)!n+2 十 (n+1 n+I (n+2x nn 欲使rn≤10,只要≤10 nn 即nn!≥105,而8.8!=322560>105 11 e≈1+1+++…+≈2.71828 2!3
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn 10 , ! 1 −5 n n 只要 ! 10 , 5 即n n 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828
3 例2利用sinx≈x x3 计算sin9"的近似值, 并估计误差 解sin9=sinπ≈z-z 2020620 T (0.2)< <10-, 5!20120 300000 .sin9≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过105
例2 . sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x x − 解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10−