第一节定积分的概念与性质 一问题举例 二定积分的定义 定积分的性质
第一节 定积分的概念与性质 ◼ 一 问题举例 ◼ 二 定积分的定义 ◼ 三 定积分的性质
问题举例 曲边梯形的面积 ■在实践中要计算曲线围城的图形的面积,其 图形一般是不规则的。以计算曲边梯形面积 为例,首先可以先求其近似值,将以曲线为 边界的区域分成小块,每小块近似于小梯形, 这些小梯形面积之和即是曲边梯形面积的近 似值,可以想象,若分割越细,近似程度越 ■这是个计算和式的极限的问题—定积分
◼ 一 问题举例 ◼ 1。 曲边梯形的面积 ◼ 在实践中要计算曲线围城的图形的面积，其 图形一般是不规则的。以计算曲边梯形面积 为例，首先可以先求其近似值，将以曲线为 边界的区域分成小块，每小块近似于小梯形， 这些小梯形面积之和即是曲边梯形面积的近 似值，可以想象，若分割越细，近似程度越 高。 ◼ 这是个计算和式的极限的问题——定积分
■具体过程是这: 在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<…<xn=b 把[a,b]分成n个小区间x,x]x,x2],x21,x ■它们的长度依次为: XI 2 2 222222 n-15 过每一个分点作平行于y轴的直线段,分曲边 梯形为n个窄曲边梯形,对Ⅴ∈[x1,x] 得 区间任 意数 f(514x+∫(22)Ax2+……f(5n)Axn≈A
◼ 具体过程是这： ◼ 在区间[a,b]中任意插入若干个分点 ◼ 把[a,b]分成n个小区间 ◼ 它们的长度依次为： ◼ 过每一个分点作平行于y轴的直线段，分曲边 梯形为n个窄曲边梯形，对 ◼ 得 0 1 2 ...... n a x x x x b = = 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ],,,,,,,[ , ] n n x x x x x x − 1 1 0 2 2 1 1 , ,,,,,,, , n n n x x x x x x x x x = − = − = − − 1 [ , ] i i i x x − 1 1 2 2 ( ) ( ) ...... ( ) n n f x f x f x A + + + 区间任 意数
即,n个窄矩形面积之和作为所求的曲边梯形 面积A的近似值 记=max{Ax1,△x2,2,△xn} 则,当λ→0时,上述和式的极限即是曲边 梯形的面积 n→)+0o A=im∑f(5)x
◼ 即，n个窄矩形面积之和作为所求的曲边梯形 面积A的近似值。 ◼ 记 ◼ 则，当 时，上述和式的极限即是曲边 梯形的面积。 max{ , ,,,, } 1 2 n = x x x →0 0 1 lim ( ) n i i i A f x → = = n → +
2变速直线运动的路程 计算作变速直线运动的物体在某段时间内移 动的位移? 分析:在间隔极短时间内,速度可以近似为 等速,则我们可以时间分段,在每段用等速 运动算出位移,再求和,即得整个路程的近 似值,再通过无限细分时间这极限过程,这 极限就是所求的变速运动的路程
◼ 2 变速直线运动的路程 ◼ 计算作变速直线运动的物体在某段时间内移 动的位移？ ◼ 分析：在间隔极短时间内，速度可以近似为 等速，则我们可以时间分段，在每段用等速 运动算出位移，再求和，即得整个路程的近 似值，再通过无限细分时间这极限过程，这 极限就是所求的变速运动的路程