第一节微分方程的基本概念 回题的提出 微分方程的定义 三、主要问题-求方程的解
第一节 微分方程的基本概念 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、微分方程的定义 ◼ 三、主要问题-----求方程的解 ◼ 四、小结
问题的提出 例1一曲线通过点(1,2,且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) dy=2x其中x=时,y=2 y=∫2xdk即p=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动后t秒钟行驶s米,s=s(t) d-s =-0.4【=0时,s=0,v==20, ν==-0.4t+C1s=-0.2+C1t+C2
例 2 列车在平直的线路上以 2 0 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C
代入条件后知C1=20,C2=0 v==-0.4t+20, 故s=-0.2t+20t, 开始制动到列车完全停住共需(045秒 20 列车在这段时间内行驶了 s=-02×502+20×50=500米
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 开始制动到列车完全停住共需
二、微分方程的定义 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例 少"+2 -3 yy=e (t +xdt +xd=o rt y ax 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义