第三节齐次方程 齐次方程 二、可化为齐次的方程 三、小结
第三节 齐次方程 ◼ 一、齐次方程 ◼ 二、可化为齐次的方程 ◼ 三、小结
、齐次方程 1定义形如可=f()的微分方程称为齐次方程 2解法作变量代换u=,即y=x, =u+x 代入原式 u+x d u f∫(u), du f(u) 即d 可分离变量的方程
一、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
当f(4)-≠0时,得∫ C f(u)u 即x=Ce),(q(n ∫() 将u=代入,得通解x=Ce 当彐un,使f(a0)-=0,则=是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=unx
当 f (u) − u 0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例1求解微分方程 (x-ycos dx xcos dy=0. 解令=,则d=xdm+ut, (x-ux cos u)dx+ xcosu(udx+ xdu)=0, cosudu sinu==+c 微分方程的解为siny=-1mx+C
例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解
dx 例2求解微分方程2 r-ryt y 解 dy 2y 29 de x'-xy+y y, y L 则小=xd+ 2u2-u u+ru= u+u
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − + = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例 2 求解微分方程 解