aa12a1nana12QIR.::::...ain +binain+binai2+bi2aiai2ain+.::.::anian2annantan2annanaina12:::bibi2binanan2ann5.把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数后加到另一行（列)的对应元素上，行列式不变，6.行列式la1fa12aina21a22a2nD=:::an1annan2等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和；行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即(D，当i=j,anA, +aizA2 +... +auA.10,当许，D,当i=j，a1A, +a2Az, +...+anA, 10,当j，其中A是a,的代数余子式在n阶行列式中，把元素α所在第i行和第i列划去后留下来的n-1阶行列式叫做元素a,的余子式，记作M,.A，=（-1)"ti·M,叫做元素α,的代数余子式.7.行列式按某k行(列)(1<k≤n-1)展开-拉普拉斯(Laplace)定理：设在n（n≥2)阶行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)个行（列),厕由这k行元素所组成的一切阶子式与它们各自的代数余子式乘积的和等于行列式D.k阶子式：在个n阶行列式D中任意选定k行k列（k<n），位于这些行和列的交点上的?个元素按照原来的位置组成的一个阶行列式M称为行列式D的一个k阶子式k阶子式的余子式：在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的位置组成的n-k阶行列式M称为k阶子式M的余子式.M与M称为D的一对互28:
余的子式，设D的k阶子式M在D中所在的行和列指标分别是i，i2，"，i和ji，j2，.,j，则M的代数余子式为A=（-1)i,+i,++i)+(i+j++i"M"四、特殊行列式1.上（下)三角形行列式0anan...a1na12a21a.22a 22..*aznana22"am:=..:0anlaman2ann2.关于副对角线的行列式a0ai,n-1ainaina 21a2,n-1a2,n-1a2n::0an1anlan.n-1ann-1)=(-a1na2.n-1*"anl.3.范德蒙（Vandermonde)行列式111...1xα2.a3nxix2x3x=T(x, -x)lsi<isn::::2~c2-123-12"-14.拉普拉斯定理的两个特殊情形00an.ain::::anb1larb1m00an...ann..1)::.:b11.C11..bimCInan...bml...bmmann::::Cml.bm1bmmCmn..·29
00ailuin.....00an1.aun2)bub1m..cll.Cin:...:bmlbmm..Cm1Cmnb1anainbim:::=(-1)mn:bm1bmmanlann.五、克拉默（Cramer）法则如果线性方程组an +ai2x+...+aint,=b1,a2+a222++a2,=b2(anx,+an2r2+...+ann,=b的系数行列式ana12alna21a 22a2#D=0,:::anian2aun则该线性方程组有唯一解：D,D20tD=D"-D,其中D.（i=1,2,，n)为把D的第i列的元素换成常数项b,,b2，",b,而得到的行列式，特别地，如果齐次线性方程组[au+a2+...+an,=0,a21x+a222+..+a2n,=0,(an+an2+..+a=0的系数行列式D≠0，那么它只有零解.如果方程组有非零解，那么必有D=0.30:
六、行列式乘法：两个n阶行列式au(bu.b12b1na12ain.b21b22b2na21a22a2nD, =,D2"：：.：::bnbu2bnnanlan2ann...的乘积等于几阶行列式C11C12CinC2uC21C22C=:::CnlCn2CAR*其中c,=anb+aizb2,++anb,i,j=1,2,",n例题8 2.2一、行列式的计算计算行列式常用的方法有：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法及公式法等.在计算n阶行列式时要根据行列式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法，类型I“两条线"行列式（非零元分布在两条线上）两条线行列式常见类型有以下几种：00bta00b2a2例1D=?00bsas00baas解解法100a2b2b2a2按第1行b30+ b,(- 1)1+b3D0a3as展开000b40asb2b2a2a2(aja -b,b4)(azag-b,b,).b,b4=a,a4b3b3asa3·31
解法2用拉普拉斯定理计算b1按第1,4行arb2a2D(i+4)+(1*410(aras -b,ba)(azas-b,b,).展开b4b3a4a解法3用特殊的拉普拉斯展开式计算，00bib,00aiat0aib,00b2000a2b2b400asC2-C4a2r2-r4D =0000b3b300asa3b3a3b4b4000000a4a4b2azb1b3aia3(aia-b,b.)(aza-b,b,).b4b2asa2例 2计算2n阶行列式anbnbn-1an-1...ai b,D2n =cid,."..dn-1Cn-1d.Cn解 解法 1利用递推方法bn-1 0an-110am-1ba-1..ar b,ai b,按第1行+ b, (-1)1+2nDznci d,ci d,a.展开...da-1d.-1Cn--1Cn-10d.0Cnbn-1an-1bn-1an-1..b1aib1ai- b,c, ( -1)2n-1+1=and.did,C1Ct...d.-1dn-1Cn-1Cn-1·32·