=(a,d,-bnc,)Dz(n-1),于是D2,=(and,-bnc.,)D2(n-1)=(a,d,-b,c.)(an-1dn-1-bn-1Cn-1)D2(n-2).....=(ad,-b,c.)(an--d.---b.--Cn--)...(a2d, -bzc2)(a,d, -b,c))解法2利用拉普拉斯定理an-1b.-1.按第1,2n行abb1aiD,1+2n)+(1+2m)展开Cnd.d,C1.....Cm-1dn-1=(and, - buc,)D2(n-1)以下同解法1.例3计算n级行列式0a..00y00x.0山:D,=:....:000ry00ly0...r解解法1利用降阶法x00y000r按第1列D...:...:r+展开00*山000..0y00..x00yy(-1)"+1:..:=r" +(-1)"+1 y"00...0y100..Tyi解法2直接利用定义由行列式的定义知此行列式除项aa22"am和a12a23an-1.na外其余乘积项都是零，故D，=（—1)1"）·+（-1)(23-1）yy'y"y=r"+(- 1)"-l y".例4计算n阶行列式.33
bD,=b降阶化三角形解 解法10b按第 1 列D.展开0262= a" + b(- 1)(n+1) b·(-1)解法2利用拉普拉斯定理将第n行依次与第n-1行，n-2行，，2行对换，经过n-2次行的对换,2列交换，经过n-2次列交成为第2行,再将第n列依次与第n-1，n-2.换成为第2列，于是取第1，2行按拉普拉斯定理展开babD, =(-1)n-2 .(-1)*-2n-2h2=(a? -b2)a"-2 = a"解法3化三角形法当a=0时，D=0=a"-α"-2b2.当a≠0时，第1行乘以加到第n行上，得：D, =6.0总之有D,=α"-a"-2b?·34:
_)去乘某一行，注意此种解法要考虑α=0的情况，否则不能用(-点评“两条线行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式.应该注意的是两条线行列式当n>3时，不能用对角线法则展开，另外，在例2的解法1中利用了递推法，即由原行列式D，出发依次得出其与较低阶的行列式之间的关系式（即递推公式），最后得出D，与D，和D，的关系，递推法可分为直接递推和间接递推，例2的解法1则是利用了直接递推法，用直接递推法的关键是找出一个关于D，-，的代数式来表示D，，依次从D，→D,→D→-D，逐级递推便可以求出D,的值类型Ⅱ“三条线"行列式（非零元分布在三条线上）1，“三对角”行列式：形式如例5计算2001020111D, =01200021102010解解法1化三角形法从第1行开始将第i行的一个倍数加到第i+1行，化成三角形行列式，解法2递推法11[2112211按第1行Ds=2D4 - D3 :展开1212111 212把上述关系整理成D，一D.=D。~D，递推该关系式就有：D,-D=D4"D,=D3-D,=D2-D=3-2=1,D,=D+1.再—次递推：D，=D4+1=D3+2=D2+3=D,+4=6例6计算行列式35
000α+βαB00α+βα0800α+β.D, =::::000α+βα000βα+βl.解解法1按第1列展开得：0000α00βα+β...α000βα+β+D, =(α+β)D.-i-β:.....:.+000α+βα+000βα+β.(n≥3).=(α+β)Dn-1-αβDn-2即有递推关系式D,=（α+β)D.-1αβD,-2,为了得到D,的一般表达式,可先设αβ，采用以下归纳法α?-β2D, = α + β=α-β,α+βaα-β(α+β)2-aβ=α+αβ+p=D, =βα-βα+βlα+βa=(α+β)*-2aβ(α+ β)=α-D, ±βα+βQBβα+βl由此可以猜想：P+D, =a"C事实上当n=1时上式显然成立.假设对阶数小于n时公式成立，下证其等于n时也成立.gr.a"-l - pr-!D, =(α + β) Dx-1 - apD,-2 =(α + β)."=g -α-β-BBαα"+1 - β"+1由数学归纳法可知D,=9F在α=β的情况，有·36
2αα212ααα1212α121αD, ==α"α..12α1 2a213124135=α"=(n +1)α"4n+1n点评利用数学归纳法来计算行列式，分两步进行，第一步发现和猜想，第二步证明猜想的正确性.第二步的关键是首先要得到D，关于D.-1和D,-的递推关系式.解法2递推法.设α≠β.当α=β时解法同解法1由解法1所得递推公式D,=（α+β)D1-αβD,-2D,-αDn-1=β(D,-1-αD,-2)=β(D-2-αD,-3)= β(Dn-3 - αD,-4) = ... = β"-2(D, - αD,)=β"-2[(αβ)2-αβ-α(α+β)]=β.(1)在递推式D=（α+β)D-1=αβD,-2中，α和β的地位是一样的，同理可得：D, - βD,-1 = α",(2)(2)×α-(1)×β得:(αβ)D,=α"+1-β+1,故有D, = a"*l- β*1解法3差分法，由D=（α+β)D-1αpD-2,令=α+β,q=α.由特征方程2-入-=0得两特征根为：入，=α，入，=β.若αβ,则D,=C,a" +C,a=C,α"+C2β".37