的公因式(）,由不可约多项式的性质，()lf,（）,)g（）,其中iE1,,ml,jE{1,",n/,与(f.(r),g,(α))=1矛盾.10.提示：如果（）不是不可约多项式，则由于a（（）)>0,故可表（）=pl()p2(),a(p,())<a(p()),a(2())<a(p()). ()/(),但()不整除,（)且()不整除z(）,矛盾.11.提示：设f(α)=p"(),p()不可约,f()lg()h().如p()不整除h(),则(p(),h())=1,(f(a),h(x))=1,因而f(α)lg(r);如p()lh（）,则f(）lh"（）.反之，设f(）不是某一不可约多项式的方幂，则显然f(）=f()fz（）,f,）和fz(α)互素,且次数都小于a(f()）,取g（）=fi(）,h（）=fz(),f(）)lg()h（),但f(）不整除g）,f(）不整除h"（），m为任意正整数_1512. t=3, --413. 4p3 +27q2=0提示：让f（）=++g与f（）=32+转相除，得余式43+27g工*+…+?14.提示:f,(r)=1+x ++,f.()=f.-1(z),f.(z)-f(z)"。如.（2）有重根必为.（2）与F.（z）的公根，即的根，即为0,但f(0)≠0,矛盾、15.提示：g(α)=号[f(α)+f(a)]+=_af(r)-f(r)-(n)-r(n)+r(a),g(z)=(a)+(a)-(a)--r(s),由于a是f"(r)的k重根,又g"(a)=0,故a是g"(a)的k+1重根.g(a)=0,所以α是g（)的k+2重根.而g(a）=0,所以a是g（)的k+3重根16.提示：f(α)在数域P上与f（α）的最大公因式d（α），当P扩大时仍成立（见第7题）.特别地，f（）和f（）互素也不因数域扩大而改变17. 提示:2’ ++1=(zα)(α-β),其中 α=/3ii,β=二1-V3i220=f(α3)+fz(α3)=fi()+f2(1),因而f,(1)=0,fz(1)=0,(-1)·23
fr(r),(r-2)lf2(α).18.提示：若f(）有整数根α,则（-α）lf（α）,f（）=（α）g（）,由-α本原，所以g（）是整系数多项式.令=0,得f(0）=（-α）g(0),令=1,f(1)=(1-α)g(1),由f(0),f(1)为奇数，从而得α和1-α为奇数,矛盾19.提示：若f(）与g（）不互素，d（）=（f(α），g（）)次数>0,由d(α)lf(),d()lg(）,知d(）l(）,()不可约,存在co,cd(）=p(α),所以p(α)lf(α),p(α)lg(α),a(p(α))=a(f(α)g(α)+ f(α) + g())=a(f(α)g())=a(f()) +a(g(α))≥a(p(α)) +a(p(α))=2a(p()),与a(())>0矛盾20.提示：*+ #+1的两根为α=—1+/3i,β=/322设 f()=3m +3n+1 +3p+2,f(α)=(α)" +(α)"α+(α)α=1+α+α2 =0.故（α)f(）,同理（)f）.由于（α,β）=l于是（α）(-β)lf(α),即2++1lf(α).21.提示：p=2时显然.设p>2,令=y-1,得+p+1=(y-1) +p+1=yp+C,yp-1(-1)+. +Cp-y(-1)e-1 +p由艾森斯坦判别法，得证，22.提示：f（）-1至少有4个整数根，即可表f（）-1=（-a)（-)()()h(),其中a,aa与h()的系数都是整数.当取整数值时,(-a,)(az)(-α,)(-a)是不同的整数的乘积,其中至多一个取+1，一个取一1，其余的两个异于±1.它们的积不能等于素数，当然不能等于-2.因而f(）-1≠-2,f()≠-1.23.提示：令r=y+1,得)++C, - (.-1)(-+1), - , . -1.i!由于（p，i！)=1,故有i！整除（p-1)（p-i+1),所以plCp，i=1,2,…，p-1,g（y)的常数项为C-1=p,故p2不整除常数项.由艾森斯坦判别法，g（y）在有理数域上不可约，由此得出f（)的不可约性24.提示：假如f(x）=g(a)h（r），g（r）和h（a）是低于n次的首项系数为1的整系数多项式，则对于i=1,2,，n，g.（a.)h（a.）=-1，g（a）+h（a.）=0.但g(α)+h(α)次数低于n,推出g（)+h(r）=0,h()=-g（),f（α）=-g（α）2.两端首项系数矛盾:24:
25.1)当n≥6时，52 =0f -202,S3 =0i-30102 +303,S4 = a1 - 40702 +40103 +202 -404,S5=01-50102 +5003 +50102-50104-50203 +505,56 =01 -60102 +60103 +90702-6004-12010203,+60105 -202+60204 +303 -606.2）当n=5时，52,3，54，5同上，S6 = 01 -60102 +60i03 +90;02 -60i04 -12010203+6010s +202+80105 +303.3）当n=4时，52,S3,54同1);s同2)；55=01 -5002 +50103 +50102-50104-50203.4）当n=3时，52,S3同1);55,S。同3)；S4 = 01 - 40i02 +40103 +2025）当n=2时，52同1)；4，55，5同4)；S3 = 01 -30102.26."+a=0,其中a为任意复数27. ≥(-1)%"%**=0.28. 1)f(1,±2,3)=0102-03.2)f(,2,x3,4)=02-2010 +204.3)f(1,2,3)=0102-03+02+010+2020,+0329. 1) 01 -40i02 +40103 +202 -404.2) 0;03 -404.·25
第二章行列式82.1基本知识一、排列和逆序1.由1,2，，n组成的一个有序数组称之为一个n级排列，n级排列共有n!个.2.在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称这个排列的逆序数，用（jijzj,）表示排列jijz"j的逆序数逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列，二、n 阶行列式的定义n级行列式ana12ala21a22a2t(1)::：arna.anz等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(2)aj,a2i2"anj的代数和，这里jij2j是1,2,3，"，n的一个排列，每一项（2)都按下列规则带有符号：当jij2j是偶排列时，（2）带有正号，当ij2j是奇排列时，（2）带有负号.n级行列式也称n阶行列式，这一定义可写成ana1na12a2na21a22Z (-1)i2'a a2i,aw.,::：j1/2"anan2an这里表示对所有n级排列求和，共n！项，J,i2"·26
定义又可以写成ana12alna21a 22a2m(-1)(i2"a,ai,2"ai,":.:11antan2ann或lana1na12a21a22a2n= Z( 1),) (1" ai, ai,,"a,.:::anlan2ann三、行列式的性质1、行列互换，行列式不变，即行列式转置不变；ana12.ainana21ana2a21a22a2na22an2D :=D":::...::annanian2+atnanna2#2.交换行列式的两行（列），行列式改变符号特别地，如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为零3.行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个数k，就相当于用k乘此行列式，或者说行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的符号之外.即a1a1na12ana12a1r:::::..kailka;2kainbaiai2ain:.::::an2an1ananlan2ann特别地，如果行列式中一行（列）的元素全部为零，那么行列式为零，如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式为零4：如果行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，这两个行列式分别以两个加数之一作为该行（列）相应位置上的元素，其余各行（列）都与原行列式相同.即·27: