为奇数，但f（1）（1+u）（1++w）为偶数.矛盾所以f（）在有理数域上不可约点评首项系数为1的三次或二次多项式的不可约性等价于有整数根，或有首项系数为1的整系数多项式的因式.利用比较系数和整数的整除性质，可推出矛盾例24求证：次数大于零的有理系数多项式都可表为两个有理数域上不可约多项式之和，证明首先，设f(）为整系数多项式，令f(r)=anx"+...+arx+ao,n≥l,a,≠o.1)aa=0时,取一个素数p.令g(）=pf(）++p,s>n,这时由艾森斯坦判别法，g（α）不可约，h（x）=+p也不可约.这时可表(a)=g(z)+(-th(r)力2）α0时,取素数不整除αo,>2,作g(r)=pf(r)++p(p-2)ao, s>ng()的常数项为pa+p(-2)a=ao(-1),显然p2不整除aop(-1),这时g（）在有理数域上不可约，h（）=r+（p-2)a。也不可约.可表(n)=-(a)+(-(),力其次，设f(）为有理系数多项式，存在非零整数m，使mf(）为整系数多项式.可表为mf(x)=u(r)+ v(x),u(α)+1u()和()在有理数域上不可约，f(）=u-()即为所求mm例25设复数c是某个非零有理系数多项式的根，把全体以℃.为根的有理系数多项式的集合记为J，即J=If()EQ[]If(c)=0)求证J中存在唯一的首项系数为1的Q上不可约多项式p（α），使对任意的f(α)EJ,p(α)lf(α).证明由于题设J≠の.设p（α）是中次数最低且首项系数为1的多项式，那么力（）必是有理数域上的不可约多项式.事实上，设在有理数域上分解为p()=h()k(）,那么p(c)=h(c)k(c),由(c)=0可知,h(c)=0或k(c)=0,即h()或k()属于J.而p(α)在J中次数最低,故h(z）和k(r）中必有一个与()同次数,即()不可约任取f(α)EJ,设.18
f(r)=p(r)g(α)+r(r),a(r(α))<a(p(x))或r(x）=0.由f(c)=0,p(c)=0,推知r(c)=0.因而r()EJ但如r（)o,即a(r（))<a(（））,与)在J中次数最低矛盾.于是r（）=，（）(）,最后，（)是唯一的.事实上，如,（)EJ也是次数最低且首项系数为1,那么（）（），（）（）得,（）=p(r).点评首先证明（z）的存在，这基于自然数最小原理，其次，证明力（）有给定的整除性质即力（）是」中所有多项式的公因式，这通过带余除法实现.最后，由相互整除性证明唯一性。例26设，2，,，是方程"+a"→++an-1+a=0的根，证明：1,2，"，，的对称多项式可以表为,（≠0)与ai,a2，",a,的多项式证明：因为,2,,是方程x"+aix"-1+….+an-1+a,0的根，所以o=xi+2+...+x,=-a1,02=112+r++an-=a2,o, =x,x2"x, =(-1)"an.关于2，3，，，的初等对称多项式设为中,，2，…，中。易见p,=o-x+-+,k=1,2,,n,(-1)*Φ=ax +ax--a, +...+arx-+ +ri,k=1,2,,n.由此可知，2，"，，的对称多项式可以表为，和a1，a2，"",a的多项式.例27 f() =(- )(- 2)(-) = "-a"-1 +.. +(-1)"g,令 $=r +x +*..+α,(k=0,1,2,").证明 1) + f()=(so+ st- ++ Sh-i+ s)f()+g(),其中g()的次数<n或g(a)=0.2）由上式证明牛顿（Newton)公式：S- 01 Sk-1 +02 5t-2 +... +(-1)*-1or-15, +(-1)*ko=0,对1<k≤n;S-otsk-1+...+(-1)"onk-n=0,对于k>n,f(r)证明1）由假设f（）=）-r-f(α)= >f(r)+)-f(x)*+1 f()=TYT(r* +r*- +..+t)f(r)+ g(α)..19
其中g(r)=对f(α)是一个次数<n的多项式或g()=0.所以-x-s*++ f(α)=(so* + $i+*-++ .. + st)f(r)+ g(r).(1)2)由于 f()=a"-01α"-1+.. +(-1)"o,,*+i f(r)=+*+1(nx"-1 -(n -1)oir"-2 +... +(-1)"-1o.--).(2)由（1），(2)两式得(sor* + Sia*-1 +.. + ss)(r" - oir"-1 + ... +(-1)"o")+ g(r)(3)= x*+l(nr"-1 -(n -1)oia"-2 +.. +(-1)n-1 on-1)当k≤n时，比较(3)式两端含a”的系数.首先由于a(g（）)<n不含项，所以(3)式左端α”项的系数为$+ - St-101 + ...+(-1)*-Iok-1$+ +(-1)*or5o )而(3)式右端含z”的项只有一项，系数为（-1)（n-k)o.所以St - Sk-101 + .. +(-1)4-l ok-1$+ +(-1)otSo = (-1)*(n -k)ox.S - 01Sk-1 +02 Sk-2 +.. +(-1)*-1ok-151 +(-1)*ko, =0,(4)而当k>n时,(3)式右端所有项的次数都>n，所以含”的系数为0,而(3)式左端含a"的系数为sk-a1S-1++（-1)"oSk-，因而(5)St-oiSk-1+...+(-1)"onSk-,=0题习81.31.证明:z[i]=ia+bila，bEzl是数环，且是包含i的最小数环：Q(i)=la+bila，bEQ数域，且是包含i的最小数域，2.m，p，g适合什么条件时，有1) r?+ mr -11α+ pr +q,2)?+mx+1/x*+p?+q.3.用综合除法把f(α)表成-a的方幂和，即表成f(α)=b,(x-a)" +b,(x-a)"-1 +...+ b的形式：1) f()= x*-2? +3,o = -2;2)f()=+2i3-(1+i)2-3+7+i,o=-i.4.证明：x?+1整除f(x）=(cosΦ+rsinΦ)"-cosnd-asinng5.设f(α）=+(1+t)+2+2u,g（)=+t+u的最大公因式是一个二次多项式，求t，u的值，6.证明:((f()h(α),g()h())=（f(α),g())h(α),(h()的首项.20
系数为 1)f(x)g(r)7.如果f(z），g（r）不全为零，证明：=1((f()g())'（f(),g()))8.设数域P上多项式f（x）与g（r）的最大公因式为d（x），证明：把多项式视为较大的数域上时，dα）仍是f(α）和g（r)最大公因式.9.设f.（α),,fm（α),g（),,g,（α)都是多项式,而且（f.（α）,g,(x))=1(i=1,2,",m;j=1,2,",n),求证:(f(x)./m(x),gi()..,g.(α))= 1.10.证明：设p（z）是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式f（α），g（),由()f(g(）可以推出()f(）或者()g(）,那么(）是不可约多项式11.证明次数>0且首项系数为1的多项式f(α）是某一不可约多项式的方幕的充分必要条件是，对任意的多项式g（），h（），由f（）lg（α）h（）可以推出f()lg（）,或者对某一正整数m,f(α)lh"（）12.求t值使f(）=-32+t-1有重根13.求多项式3+pr+g有重根的条件2?+++不能有重根14.证明：1+x+n!15.如果a是"（）的一个重根，证明α是g（）=^［（）+f（a）］-f(α）+f(a)的-个k+3重根16.证明：任意数域上的不可约多项式在复数域中无重根.17.证明：如果（++1)f（）+f（）,那么（1)f（）（1)ifz(r).18.设f(r）是个整系数多项式，试证：如果f(0)与f(1)都是奇数，那么f(z)不能有整数根.19.设f(r)和g(α)为非零多项式，f()g(α）+f(r)+g(α)=p()是一个不可约多项式，求证：（f(），g（))=1.20.证明：2++11±3m+3n+1+±3p+2,其中m，n，p都是非负整数.21.求证多项式+p+1(p为素数）在有理数域上不可约22.设整系数多项式f(α)在多于3个整数处取值+1,求证f(z)在任何整数处不取一1.23.设p为素数，求证多项式f（）=-1+-2+++1在有理数域上不可约，24.设a,2,,a是不同的整数，求证：f(）=（-a)(-az).(.21:
-a,）-1在有理数域上不可约，25.根据牛顿公式用多项式表示.52，53，54，S5，56.26.求一个n次方程使si=S2==s-1=027.求一个n次方程使s2=s3=…=s.=0.28.用初等对称多项式表出下列对称多项式：1) (+)(+)(+);2)(++)(++)(i++)29.用初等对称多项式表出下列n元对称多项式：1) Zxi;2)ix2x3.81.4习题答案与提示1.提示：设R是数环，包含i,则必然包含i-i=0,=-1,0-（-1）=1,1+1=2,*,(- 1)+ (- 1)= -2,.,i+i=2i,,0 -i= -i,(-i)+(-i) -一2i，.Z[i]二R.类似地，可证明另一结论2. 1) p= -m2-1,q= m.2)p=2-m2,q=1或m=0，p=q+1.3.提示：用综合除法得f（）=（a)g（）+ro,g（）=（-a）i（）+,qi（）=（-a)q2(）+2，…..依次代人便得形如f(）=b（-a）"+b,(α-a)"-1++b,的表达式.1) f()=(+2)*-8(+2)3 +22(+2)2-24(+2)+11.2) f() =( +i)*-2i(x +i)3 -(1 +i)(x +i)2 -5( +i) +7+5i.4.提示：?+1的根是±i,它们显然是f(）的根5. t= -4,u=0.6.提示：设d(α）=（f(),g（α)),由于有u(）,()使f(α)u(）+g()(α)d(α),得f()h()u(r)+g()h()()=d()h(),又显然d()h()是 f()h()和 g()h()的公因式7. 提示:设d(α)=(f(α),g(α)),f(α)=fi(α)d(r),g(x)=gi(α)d(),由于有u(),()使f()u()g()()=d(）),d()不为零，得 fi()u(α)+gi(r)v(α)=1.8.提示:在P上有d(α)=f()u()+g()(),f()=d()g()g（）=d（）p（α）,在较大数域上，仍成立9.提示：设fi（）.f（x）与g（）g（）不互素，那么他们必有不可约.22