第一章函数与极限 习题1-1 1.求下列函数的自然定义域： (1)y=√3x+2: (2)y=1- (3)y=: (4)y- 1 (5)y=sinV压； (6)y=tan(x+1) (7)y=arcsin(x-3); (8)y=√/3-+aretan- (9)y=ln(x+1) (10)y=e 2.下列各题中，函数八x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=Igx,g(x)=21gx: (2)f(x)=,g(x)=√震： (3)(x)=-x,g(x)=xx-; (4)f(x)=1.g(x)=see'x-tan'x. 3.设 sinx,l<号 p(x)= 0,1x≥ 求()(）（平）(-2），并作出函数y=()的图形 4.试证下列函数在指定区间内的单调性： (1)y=产x(-0,1): (2)y=x+lnx,(0,+m). 5.设八x)为定义在(-，)内的奇函数，若八x)在(0，)内单调增加，证明(x)在(-l,0) 内也单调增加. 6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-山，)上的.证明： (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积 是奇函数 7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ (1)y=x2(1-x2): (2)y=3x2-x a话 (4)y=x(x-1)(x+1): (5)y=sin x-cos x+1; (6)y=a ·16·
第一节映射与函数 8.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)y=co8(x-2): (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin x: (4)y=x08x: (5)y=sin'x. 9.求下列函数的反函数 (1)y=x*1: 2)y 6)y22(ad-c0: (4)y=2sin3x(8≤x≤）： (5)y=1+n(x+2): (6)y=2+ 0.设函数八x)在数集X上有定义，试证：函数八x)在X上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界 11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量 值x,和x的函数值： （Dy=,u=in=石4= (2)y=m,=2=8名=牙 (3)y=m,u=1+x2,x,=1,=2: (4)y=e,4=x2,x1=0,x2=1; (5)y=u2,u=e,x,=1,x2=-1. 12.设八x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域 (1)fx2): (2)f(sin x); (3)f(x+a）(a>0): (4)fx+a)+x-a)(a>0) 13.设 r1,lx1<1, fx)=0,1x=1,g(x)=e -1,1x1>1, 求几g(x)]和g(x)],并作出这两个函数的图形. 14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角p=40°（图1-20）.当过水断面ABCD的面积为 定值S。时，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域 15.设x0平面上有正方形D=1(x,y)1 0≤x≤1,0≤y≤1|及直线1：x+y=t(1≥0). 若S()表示正方形D位于直线1左下方部分 的面积，试求S()与之间的函数关系 16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏 图1-20 温度（用C表示）的转换公式，并求 ·17·
第一章函数与极限 (1)90℉的等价摄氏温度和-5℃的等价华氏温度： (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那 么该温度值是多少？ 17.已知：△ABC中，直角边AC,BC的长度分别为20,15，动点P从C出发，沿三角形边 界按C一B一A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C一→A一→B方向移动，移动到两动 点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x, △CPQ的面积为y,试求y与x之间的函数关系. 18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据①以及指数模型来推测2020年的世 界人口. 年份 人口数/百万 年增长率/% 2008 6708.2 1.166 2009 6786.4 1.140 2010 6863.8 1.121 2011 6940.7 1.107 2012 7017.5 1.107 2013 7095.2 第二节数列的极限 一、数列极限的定义 极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的.例如，我国古代 数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 一割圆 术，就是极限思想在几何学上的应用 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A:再作内接正十二边 形，其面积记为A2;再作内接正二十四边形，其面积记为A,;如此下去，每次边数 加倍，一般地，把内接正6×2-边形的面积记为A(neN,.这样，就得到一系 列内接正多边形的面积 A1,A2,A3,.,Am,., 它们构成一列有次序的数.当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 ①这里世界人口数据是指每年年中的人口数 ·18·
第二节数列的极限 A,作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A,终 究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想n无限增大（记为n→∞，读 作n趋于无穷大)，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边 形无限接近于圆，同时A.也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理 解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列） A,A2,A,.,A.,.当n一→∞时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这个数列 的极限才精确地表达了圆的面积. 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基 本方法，因此有必要作进一步的阐明。 先说明数列的概念.如果按照某一法则，对每个n∈N,对应着一个确定的 实数x,这些实数x按照下标n从小到大排列得到的一个序列 x1,2，x3,.,x,. 就叫做数列，简记为数列{x,{. 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项x,叫做数列的一般项（或通项） 例如： 12,3 23,4,.n+. 2,4,8,.,2°，. 1,1 1,-1,1,.,(-1)1, 2分.a4-) n 都是数列的例子，它们的一般项依次为 n中T,2，是，(-1)4，+-1) 在几何上，数列x}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x,x2 x3,.,.(图1-21) 数列{x,}可看作自变量为正整数n的函数 药”文 x=f(n),neN. 图1-21 当自变量n依次取1,2,3，.一切正整数时，对应的函数值就排列成数列 {xn}. 对于我们要讨论的问题来说，重要的是：当n无限增大时（即n→∞时），对 应的x。=f八)是否能无限接近于某个确定的数值？如果能够的话，这个数值等 于多少？ .19
第一章函数与极限 我们对数列 2分营*0 (2-1) n 进行分析.在这数列中， -巴=1*(-) n 我们知道，两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 lb-a来度量（在数轴上lb-a表示点a与点b之间的距离），lb-al越小，a与b 就越接近. 就数列(2-1)来说，因为 -=-)-2 由此可见，当n越来越大时，一越来越小，从而x,就越来越接近于1.因为只要n 足够大，x。-1山即。可以小于任意给定的正数，所以说，当n无限增大时，无限 接近于1例如，给定d0欲使。0只要n>10,即从第101项起，都能使不等 1x.-11<100 成立.同样地，如果给定1000那么从第1001项起，都能使不等式 1x.-11<10000 成立.一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在着一个正整数N,使得当n>N 时，不等式 Ix.-11<E 都成立.这就是数列三，=n+(-1)（a=1,2.)当n一m时无限接近于1这件 n 事的实质.这样的-个数1，叫做数列.-+(-)（a=1,2,.)当n一时的 极限 一般地，有如下数列极限的定义： 定义设{x,{为一数列，如果存在常数a,对于任意给定的正数6（不论它 多么小)，总存在正整数N,使得当n>N时，不等式 ·20·