第一节映射与函数 记为g,即 (fg)(x)=fg(x)]. 与复合映射一样，g与∫能构成复合函数∫g的条件是：函数g的值域R,必 须包含于函数∫的定义域D,即R,CDp否则，不能构成复合函数.例如，y=f(u) =arcsin u的定义域为[-1,1]，u=g(x)=sinx的定义域为R,且g(R)C[-1, 1],故g与f可构成复合函数. y=arcsin sin x,R; 又如，y=f(u)=√a的定义域为D,=[0,+∞)，u=g(x)=tanx的值域为R。=(-∞， +),显然R￠D,故g与∫不能构成复合函数.但是，如果将函数g限制在它的 定义竣的-个子集D={m≤<k+,keZ上，令g()=m,xeD,那 么R。·=g‘(D)CD,g'与f就可以构成复合函数 (fg')(x)=√Vanx,xeD. 习惯上为了简便起见，仍称函数√anx是由函数u=tanx与函数y=√a构成 的复合函数.这里函数u=tanx应理解成：u=tanx,x∈D.以后，我们采取这种习 惯说法.例如，我们称函数u=x+1与函数y=lnu构成复合函数n(x+1),它的定 义域不是u=x+1的自然定义域R,而是R的一个子集D=(-1,+). 有时，也会遇到两个以上函数所构成的复合函数，只要它们顺次满足构成复 合函数的条件.例如，函数y=瓜，u=cot",D=艺可构成复合函数y=√o1之，这 里u及”都是中间变量，复合函数的定义域是D={x2kπ<x≤(2k+1)π，k∈Z 而不是D=之的自然定义域R,D是R的一个非空子集， 4.函数的运算 设函数代x),g(x)的定义域依次为D,D,D=D,nD,≠⑦，则我们可以定 义这两个函数的下列运算： 和（差）f±g:(f±g)(x)=f八x)±g(x),xeD: 积f·g: (f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈D: 商上 (月(-eD八ae)=0seD 例11设函数f八x)的定义域为(-1，)，证明必存在(-，)上的偶函数g(x)》 及奇函数h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x) ·11
第一章函数与极限 证先分析如下：假若这样的g(x),h(x)存在，使得 f(x)=g(x)+h(x), (1-1) 且 g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x) 于是有 f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) (1-2) 利用(1-1)、(1-2)式，就可作出g(x),h(x).这就启发我们作如下证明： 作 g(x)=2/x)+-x)],h(x)=x)-x)1. 乡 g(x)+h(x)=f(x), g(-x)=号[/-x)+x)]=g(x), h(-x)=[-x)-x)]=-h(x) 证毕。 5.初等函数 在初等数学中已经讲过下面几类函数 幂函数：y=x(μeR是常数)， 指数函数：y=a(a>0且a≠1)， 对数函数：y=logx(a>0且a≠1，特别当a=e①时，记为y=lnx) 三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等， 反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctan x等. 以上这五类函数统称为基本初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所 构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如 y ysin's. 等都是初等函数.在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数 应用上常遇到以e为底的指数函数y=和y=e所产生的双曲函数以及它 们的反函数一反双曲函数.它们的定义如下： ①©是一个无理数，这个数的意义见本章第六节。 ·12
第一节映射与函数 双自正维h 双曲余弦chx=+e 2, 双曲正切山x。hx。+e sh x e"-e 这三个双曲函数的简单性态如下： 双曲正弦的定义城为(-∞，+)，它是奇函数，它的图形通过原点且关于原 点对称.在区间(-∞，+∞)内它是单调增加的，当x的绝对值很大时，它的图形 在第一象限内接近于曲线y=e,在第三象限内接近于曲线y=-2e(图 1-15). 双曲余弦的定义域为(-∞，+0)，它是偶函数，它的图形通过点(0,1)且关 于y轴对称.在区间(-∞，0)内它是单调减少的.在区间(0，+∞)内它是单调增 加的.h0=1是这函数的最小值.当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内 接近于曲线y=)。,在第二象限内接近于曲线y=e(图1-15) 双曲正切的定义域为(-∞，+∞)，它是奇函数，它的图形通过原点且关于原 点对称.在区间(-0，+©)内它是单调增加的.它的图形夹在水平直线y=1及y =-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1,而 在第三象限内接近于直线y=-1(图1-16) th 图1-15 图1-16 根据双曲函数的定义，可证下列四个公式： sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y, (1-3) 13
第一章函数与极限 sh(x-y)=sh xch y-ch xsh y, (1-4) ch(x+y)=ch xch y+sh xsh y, (1-5) ch(x-y)=ch xch y-sh xsh y. (1-6) 我们来证明公式(1-3)，其他三个公式读者可自行证明.由定义，得 sh xch y+ch xsh y 2 2 2 e"-e"te”-eoe”te.-e7-e 4 4 e”-em三h(x* 由以上几个公式可以导出其他一些公式，例如 在公式(1-6)中令x=y,并注意到ch0=1,得 ch2x-sh2x=1: (1-7) 在公式(1-3)中令x=y,得 sh 2x=2sh xchx; (1-8) 在公式(1-5)中令x=y,得 ch 2x=ch2x+sh'x. (1-9) 以上关于双曲函数的公式(1-3)至(1-9)与三角函数的有关公式相类似， 把它们对比可帮助记忆. 双曲函数y=shx,y=chx(x≥0)，y=thx的反函数依次记为 反双曲正弦y=arsh x, 反双曲余弦y=archx, 反双曲正切y=arhx. 这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示，分别讨论如下： 先讨论双曲正弦y=shx的反函数.由x=shy,有 tse-e 2 令u=e',则由上式有 w2-2xu-1=0. 这是关于u的一个二次方程，它的根为 u=x±√m+I 因u=e'>0,故上式根号前应取正号，于是 u=x+√x+1. ·14
第一节映射与函数 由于y=lnu,故得反双曲正弦 y=arshx=ln(x+√x+1). 函数y=ashx的定义域为(-，+∞)，它是奇函数，在区间(-0，+o)内为 单调增加，由y=shx的图形，根据反函数的作图法，可得y=ashx的图形如图 1-17所示. 下面讨论双曲余弦y=chx(x≥0)的反函数. 由x=chy(y≥0)，有 arsh x=c'te 2，y≥0 由此得e'=x±√元-1，故 y=ln(x±√-1). 上式中x的值必须满足条件x≥1，而其中平方根前 图1-17 的符号由于y≥0应取正.故 y=ln(x+√x2-I). 上述双曲余弦y=chx(x≥0)的反函数称为反双曲余弦的主值，记作y= arch x,即 y=arch x=ln(x+√x-l) 这样规定的函数y=archx的定义域为[1，+o),它在区间[l,+o)上是单 调增加的（图1-18）. 类似地，可得反双曲正切 y=anh=之hn 这函数的定义域为开区间(-1,1)，它在开区间(-1,1)内是单调增加的奇函数 它的图形关于原点对称（图1-19） 1-18 15