第二节数列的极限 lx,-al<s 都成立，那么就称常数a是数列{x,的极限，或者称数列{x.}收敛于a,记为 limx,=a, 或 x。→a(n+o）. 如果不存在这样的常数a,就说数列{x}没有极限，或者说数列{x是发散 的，习惯上也说limx,不存在， 上面定义中正数e可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式|x。-a|< e才能表达出x,与a无限接近的意思.此外还应注意到：定义中的正整数N是与 任意给定的正数ε有关的，它随着ε的给定而选定， 我们给“数列{x1的极限为a”一个几何解释： 将常数a及数列x1,x2,x,.,x。,.在数轴上用它们的对应点表示出来，再 在数轴上作点a的e邻域即开区间(a-s,a+s)(图1-22). a-g 2 方名网方文 图1-22 因不等式 Ix,-al<s 与不等式 a-8<x.<a+e 等价，所以当n>N时，所有的点x,都落在开区间(a-e,a+e)内，而只有有限个 (至多只有N个)在这区间以外. 为了表达方便，引人记号“”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记 号“了”表示“存在”.于是，“对于任意给定的6>0”写成“Vc>0”,“存在正整数 N~写成“3正整数N”,数列极限im,=a的定义可表达为 imx,=a台H>0,3正整数N,当n>N时，有1x-al<6 数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限，以后要讲极限的求法， 而现在只先举几个说明极限概念的例子， 例1证明数列 的极限是1. ·21
第一章函数与极限 He>0,为了使1x。-al<e,只要 或心 这个。是一个确定的实数，面对于任何一个实数都有无穷多个大于它的正整数 存在，所以，任取一个大于。的正整数作为N,则当>N时，就有 |+(1)-ke, n *-) 例2已知长仁证明数列属的发限是0 正- 11 He>0为了使1x。-al<e,只要 安心片 这个二是一个确定的实数，大于上的正整数有无穷多个存在，任取其中一个作为 N,则当n>N时，就有 器e 多 =0 注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{x,}的极限时，重要 的是对于任意给定的正数&，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在。 如果知道1x。-al小于某个量（这个量与n存在函数关系），那么当这个量小于￡ 时，lx。-al<e当然也成立.若令这个量小于e能推出符合定义要求的正整数N 必定存在，就可采用这种方法.例2便是这样做的.当然，在利用极限定义证明极 限时，如果能具体找出一个满足定义要求的正整数N,那么也就证明了这种N的 ·22
第二节数列的极限 存在在2中若设<1，就可取N-月在以后的正明中，多采取这种找出 一个符合定义要求的正整数N的方法. 例3设1gl<1,证明等比数列 1,9,92,.,9-1, 的极限是0. 证Ve>0(设6<1)，因为 lx。-01=1g-'-01=lg14, 要使1x。-01<8,只要 1gl-1<e. 取自然对数，得(n-1)ln1gl<n&.因1ql<1,n1gl<0,故 取N=司则当>w时，就有 1g1-01<6, 即 1img-=0. 二、收敛数列的性质 下面四个定理都是有关收敛数列的性质. 定理1（极限的唯一性）如果数列{x.收敛，那么它的极限唯一。 证用反证法假设同时有多.0及名，一6，且a<取c=因为m, a,故3正整数N,当n>N,时，不等式 -a2经2 (2-2) 都成立.同理，因为limx。=b,故3正整数N2,当n>N,时，不等式 属-b1<经 (2-3) 都成立.取N=max{N,N,}(这式子表示N是N,和N,中较大的那个数)，则当n >V时，2-2)式及(2-3)式会同时成立，但由(2-2)式有，<生”，由(2-3)式有 长“，这是不可能的，这矛盾证明了本定理的断言， ·23·
第一章函数与极限 例4证明数列x,=(-1)(n=1,2,.)是发散的. 证如果这数列收敛，根据定理1它有唯一的极限，设极限为a,即limx,=a.按 数列极限的定义，对于6=分，正整数N,当>N时，a1<兮成立：即当>N 时都在开区间口了a+号)肉：但这是不可能的，因为时，无休止地一 再重复取得1和-1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间 (a-2a+2）内.因此这数列发散 由函数有界性的概念可得以下的数列有界性概念。 对于数列1x,如果存在正数M,使得对于一切x都满足不等式 IxI≤M, 那么称数列{x,}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{x,}是无界的 例如，数列x.=n本（n=1,2,.)是有界的，因为可取M=1,而使 对于一切正整数n都成立. 数列xn=2”(n=1,2,.)是无界的，因为当n无限增加时，2"可超过任何正 数. 数轴上对应于有界数列的点x都落在某个闭区间[-M,M]上， 定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x}收敛，那么数列{x。|一定有界. 证因为数列1x。}收敛，设1imx,=a.根据数列极限的定义，对于6=1， 3正整数N,当n>N时，不等式 lx。-al<1 都成立.于是，当n>N时， IxnI=l(xn-a)+al≤lx。-al+lal<1+lal. 取M=max1x,l,1x2l,.,lxw1,1+1a1,那么数列x,}中的一切x,都满足不等 式 xI≤M 这就证明了数列x.是有界的. 根据上述定理，如果数列1x,无界，那么数列{x}一定发散.但是，如果数列 {x,有界，却不能断定数列{x}一定收敛，例如数列 1,-1,1,.,(-1)1,. 有界，但例4证明了这数列是发散的，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但 24
第二节数列的极限 不是充分条件 定理3（收敛数列的保号性）如果1imx,=a,且a>0(或a<0),那么存在正 整数N,当n>N时，都有x,>0(或x.<0). 证就a>0的情形证明.由数列极限的定义，对8=？>0,3正整数N,当n>N 时，有 ls.-al<2. 从而 >0-受=号>0. 推论如果数列{x。从某项起有xn≥0（或x,≤0)，且limx。=a,那么a≥0 (或a≤0) 证设数列{x.}从第N,项起，即当>N,时有x,≥0.现在用反证法证明.若 limx,=a<0,则由定理3知，3正整数N2,当n>N2时，有x,<0.取N=maxN, N2l,当n>N时，按假定有x≥0，按定理3有x<0,这引起矛盾.所以必有a≥0. 数列{x,}从某项起有x.≤0的情形，可以类似地证明. 最后，介绍子数列的概念以及关于收敛数列与其子数列间关系的一个定理 在数列{x,}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{x,!中的先后次 序，这样得到的一个数列称为原数列x的子数列（或子列） 设在数列x,中，第一次抽取名，第二次在x,后抽取x,第三次在x后抽 取x,.,这样无休止地抽取下去，得到一个数列 n1X2,xnE., 这个数列{x。,1就是数列{x}的一个子数列. 注意在子数列引x,中，一般项x,是第k项，而x在原数列{x。}中却是第 n项.显然，n,≥k. ·定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{x,}收敛于α，那么它 的任一子数列也收敛，且极限也是a. 证设数列{x{是数列{x}的任一子数列. 由于Iimx,=a,故e>0,3正整数N,当n>N时，lx,-al<e成立. 取K=N,则当k>K时，n4>mx=m,≥N.于是x,-a<e.这就证明了imx,=a 证毕. ·25