⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节函数的幂级数展开式的应用 近似计算 二、欧拉公式 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、欧拉公式
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 近似计算 A=a1+a2+…+an+…, A≈a1+a2+…+an, 误差n=an+1+an+2+… 两类问题: 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度,确定项数 关健:通过估计余项确定精度或项数 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 一、近似计算 误差
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 常用方法: 1若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和 例1计算的已近似值使其误差不超过105 解 ·ex=1+x+-x2+…+-xn+ 2! n 令x=1,得e≈1+1++…+ tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++ 10 . -5 例1 计算的 e 近似值,使其误差不超过
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 余和: ≈ (n+1)!(n+2) (n+1)!n+2 (1+ (n+1)! +1(n+1)2 n·n 欲使r≤103,只要 10 n· nn!≥105,而88!=322560>105, e≈1+1+++…+≈271828 2!3 8! tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , -5 欲使 rn 10 , ! 1 -5 n n 只要 ! 10 , 5 即n n 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2计算5240的近似值,要求误差不超过.000 解因为 240=243-3=301-1y 在二项式展开中取m1 5 ,即得 /240=3(1 111.411.491 53452.2!3853.3!312 取前两项得和作为240的近似值,其误差(截断误差) 为 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过0.0001。 解 因为 ) , 3 1 240 243 3 3(1 5 1 4 5 5 = - = - 在二项式展开中取 , 3 1 , 5 1 4 m = x = - 即得 ) 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 3 1 5 1 240 3(1 4 2 8 3 1 2 5 - - = - - 取前两项得和作为 5 240 的近似值，其误差（截断误差） 为