⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节全微分方程 、全微分方程及其求法 、积分因子法 三、小结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 dx,y)=P(x,y)dk+(x,y)全微分方程 或恰当方程 则P(x,y)dx+Q(x,y)小y=0 例如x+yy=0,a(x,y)=3(x2+y2) d(x,y)=xx+yy,所以是全微分方程 全微分方程2=0 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P = 全微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.解法: P(x,y)x+Q(x,y)=0全微分方程 aP 00 应用曲线积分与路径无关 通解为以(x,y)=」P(x,y)dx+Q(x,y)d =g(x,y)小+∫P(x,,),m(xy)=C; 用直接凑全微分的方法 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P = 通解为 = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 0 Q x y dy P x y dx x x y y = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求方程x3-3xy2)x+(y3-3x2y)d=0 的通解 00 解,=-6x 是全微分方程 u(r,y)=(x-3xy)dx+ydy r y t 原方程的通触、3xy2+ y=C tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求方程2+yx=0通解 解P6xaQ ay y ax 是全微分方程, 将左端重新组合+ 3x dy) (--)+d(3)=d(-2+ 原方程的通解为-+ tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2