⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、正项级数审敛法 正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数。 定理1正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列 有界。 定理2(比较审敛法)设∑和∑"都是正项级数,且 nvn(n=1,2,…若级数∑v收敛,则级数 ∑u收敛;若级数∑u发散,则级数∑"也发散 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、正项级数审敛法 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。 （比较审敛法） 设 和 都是正项级数，且 若级数 收敛，则级数 收敛；若级数 发散，则级数 也发散。 定理2 n=1 un n=1 n v n=1 un n=1 n v n=1 un n=1 n v 正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数。 n n u v (n = 1,2, )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1讨论P一级数 1+++…++…的收敛性,其中常数p>0 2p3 结论P-级数当p>1时收敛,当P≤1时发散 定理3(比较审敛法的极限形式)设∑u和∑v都是正项级数, 儿L (1)如果im=1(0≤1<+∞),且级数∑"收敛 n→0 则级数∑收敛; (2如果im“=1>0或lmn“=+且级数∑ n-01 发散,则级数∑n发散。 =1 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics p 1 例1 讨论 p − 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 的收敛性，其中常数p0 结论 p − 级数当 时收敛，当 p 1 时发散。 定理3（比较审敛法的极限形式）设 和 都是正项级数， (1)如果 ，且级数 收敛, 则级数 收敛； (2)如果 或 且级数 发散,则级数 发散。 n=1 un n=1 n v l v u n n n = → lim (0 l +) n=1 n v n=1 un lim = 0 → l v u n n n = + → n n n v u lim n=1 n v n=1 un
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2判定级数∑sin的收敛性。 n=1 解因为 SIn n=1>0, n 而级数∑发散,根据定理3知此级数是发散的。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 判定级数 =1 1 sin n n 的收敛性。 解 因为 1 0, 1 1 sin lim = → n n n 而级数 =1 1 n n 发散，根据定理3知此级数是发散的
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设∑n为正项级数, 如果Im-=p则当<1时级数收敛;当P>1或 lim n+1 时级数发散当P=1时级数可能收敛也可能发散。 n-)oo M 例3证明级数 1.21·2·3 1·2·3…(n-1) 是收敛的,并估计此级数的部分和Sn近似代替和S所 产生的误差。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理4 （比值审敛法，达朗贝尔判别法）设 为正项级数 ， 如果 则当 时级数收敛；当 或 n=1 un 时级数发散；当 时级数可能收敛也可能发散。 + = 1 1 → n n n u u 1 lim= + → n n n u u 1 lim = 1 + − + + + + 1 2 3 ( 1) 1 1 2 3 1 1 2 1 1 n n s s 例3 证明级数 是收敛的，并估计此级数的部分和 近似代替和 所 产生的误差