⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节定积分在几何学上的应用 、平面图形的面积 、体积 、平面曲线的弧长 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 平面图形的面积 1、直角坐标系情形 y=f() y=/2(x) o a x+△ xb x b 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=f(x)dx A=1f2(x)-f1(x)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、平面图形的面积 x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx xx + x xx 1 、直角坐标系情形
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形 的面积 解两曲线的交点 选x为积分变量x∈[0,1 0,20,40,60,6 面积元素dA=(x-x2)d 2 3 A=lWx-x dx
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的图形 的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x[0,1] 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图 形的面积 解两曲线的交点 y=x-4 2 =2x y=r →(2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈|-2,4 dA=y+4-v A=dA4=18. 2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 计算由曲线 y 2x 2 = 和直线 y = x − 4所围成的图 形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics x 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y=y(t 曲边梯形的面积A=v()r(ld (其中t和t2对应曲线起点与终点的参数值) 在[t1,t2](或[t2,1])上x=q()具有连续导数, y=y(t)连续
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y =(t)连续