⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第八节常系数齐次线性微分方程 定义 、二阶常系数齐次线性方程解法 、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 常系数齐次线性微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y+py++Pay+P,y=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y+py+ay=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+p+qy=∫(x) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、定义 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 特征方程法 设y=e",将其代入上方程得 r+pr+ge=0 ≠0 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根r2==P±p2- 2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 有两个不相等的实根(△>0) 特征根为~P+、p-4,==PP2-4q 2 两个线性无关的特解 J=e,2= 得齐次方程的通解为y=C1e+C2e2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0) 特征根为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 有两个相等的实根(△ 特征根为r=r1=-P,-特解为y=en, 设另一特解为y2=l(x)e4, 将y2,y2,y代入原方程并化简, u+(2r+p)+(r2+pr1+q)=0, 知"=0,取(x)=x,则y2=xenx, 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e; tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为