⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、可分离变量的微分方程 (y)d=f(x)可分离变量的微分方程 例如=2x2y→y=2x2tkr, 解法设函数g(y)和f(x)是连续的, 分离变量法 g(y)dy=lf(r) 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、典型例题 例1求解微分方程=2x的通解。 解分离变量=2xx, 两端积分∫=∫2x, Inly=x2+C1 y=Ce即为所求的通解。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求解微分方程 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C 2 x y = Ce 二、典型例题 xy dx dy = 2 的通解。 即为所求的通解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2求方程f(x)y+g(x)x=0通解 解令u=x,则d=xd+ytx, ∫(u)yx+g(u)x du-ydx 0 lf(u)-gul-d+gudu=0, dx gu x ulf(u-al du=0, 通解为In|x g u u∫(u)-g() tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics u = xy, du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( )− ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx 通解为 解 求方程 f (xy)ydx + g(xy)xdy = 0 通解. . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 令 则 例2
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3衰变问题衰变速度与未衰变原子含量M成正比, 已知M=0=M0,求衰变过程中铀含量M()随时间t变 化的规律 解衰变速度 由题设条件 =M(>0衰变系数)a dM 「-λd,mM=-+1nC,即M=C 代入M=0=M得Mn=Ce"=C, M=Me-at 衰变规律 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比, 已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t)随时间t变 化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律