⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第六节可降阶的高阶微分方程 y)=f(x)型的微分方程 二、y=f(x,y)型的微分方程 三、y"=f(y,y)型的微分方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 可降阶的高阶微分方程 ( ) ( ) y f x n = y = f (x, y ) y = f ( y, y ) 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o y=f(x)型 特点:右端仅含有自变量 解法:把y作为新的未知数,则上式就是新未 知数得一阶微分方程。两边积分得: ,(n-1) f(x)c+CI 同理可得:p")-=∫f(x+ck+C2 依次类推,得到含n个任意常数得通解 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解法： 特点： 右端仅含有自变量x ( ) ( ) y f x n 一、 = 型 把 作为新的未知数，则上式就是新未 知数得一阶微分方程。两边积分得： (n−1) y 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 同理可得： 1 2 ( 2) y f (x)dx C dx C n = + + − 依次类推，得到含n个任意常数得通解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求微分方"=c2x-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次,得 sinx+C y'==e+cosx +Cx+C y=re+sinx+Cx+C2x+c C tianjin polytechnic la
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 cos . 求微分方程y = e 2x − x的通解 解 对所给方程接连积分三次，得 y e x C x = − sin + 2 1 2 2 2 cos 4 1 y e x Cx C x = + + + 2 3 2 1 2 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + + = 2 1 C C
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、y"=f(x,y)型得微分方程 特点:右端不显含未知数 解法:令y=p则==p 从而原方程成为=f(x,p) 即=gxcC)解其通解为=g(x,C d x 对其进一步积分,得到原方程得通解为 y=o(x,C)dx+C2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 右端不显含未知数y 令y = p p dx dp 则y = = 特点： 解法： 从而原方程成为p = f (x, p) ( , ) 解其通解为p = x C1 ( , ) C1 x dx dy 即 = 对其进一步积分，得到原方程得通解为 1 2 y = (x,C )dx +C 二、 y = f (x, y ) 型得微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求微分方程(1+x2)y"=2xy满足初始条件 yn=1,y-=3的特解 解设y=n,代入方程并分离变量得 dp 2x d x p 1+x 两端积分,得l川=l+x2)+C 即 P=y=C1(1+x2)(C1=±e) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 求微分方程 (1+ x ) y = 2xy 2 满足初始条件 1, 3 0 0 = = x= x= y y 的特解. 解 设y = p,代入方程并分离变量得 dx x x p dp 2 1 2 + = 两端积分，得 ln p = ln(1+ x ) + C 2 即 (1 ) 2 1 p = y = C + x ( ) 1 c C = e