⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第三节齐次方程 齐次方程 二、可化为齐次的方程 、小结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 齐次方程 一、齐次方程 二、可化为齐次的方程 三、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、齐次方程 1定义形如可=f()的微分方程称为齐次方程 2,解法作变量代换u=,即y=x, 女4+ dx 代入原式u+x=f(a 即d=f(a)- d x 可分离变量的方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义 一、齐次方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 当f()-≠0时,得 du =InCr, f(u)-u 即x=Cc,(g(a)=∫ du P( 将u=代入,得通解x=Ce 当彐n,使f(u0)-ln=0,则a=是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=nx tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 当 f (u) − u 0时, ln , ( ) 1 C x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o dy 小 例1求解微分方程y2+x ry d 解原方程可写成 d xe 令:少=,则=xn+ut, u+r 即 L d x u-1 变量分离,得 两端积分得xud=通解为h=+C tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 求解微分方程 解 原方程可写成 dx dy xy dx dy y + x = 2 2 令： u, x y = 则dy = xdu + udx， 1 2 − + = u u dx du u x 即 −1 = u u dx du x 变量分离，得 x dx du u = − 1 1 两端积分得 ln xu = u 通解为 C x y ln y = + 1 2 2 2 − = − = x y x y xy x y dx dy
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面—旋转抛物面 解如图设旋转轴a轴 光源在(0,0),L:y=y(x) 设M(x,y)为L上任一点,M R MT为切线斜率为y, MN为法线,斜率为 L ∵∠OMN=∠NMR, tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) x y o M T N R L 设M(x, y)为L上任一点， MT为切线, 斜率为 y , , 1 , y MN 为法线 斜率为− OMN = NMR