⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第七节高阶线性微分方程 、二阶线性微分方程举例 、线性微分方程的解的结构 常数变易法 四、小结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、线性微分方程的解的结构 三、常数变易法 四、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二阶线性微分方程举例 例:设有一弹簧下挂一重物如果使物体具有一个初始速度 v≠0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动 试确定物体的振动规律x=x(t). 解受力分析 1恢复力∫=-cx; 2阻力R d x dt tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始速度 v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动. 试确定物体的振动规律x = x(t). 解 受力分析 1.恢复力 f = −cx; 2. ; dt dx 阻力 R = − x x o 一、二阶线性微分方程举例
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o F=mn,∴m 2=-cx-冬 dx d t ds+2nt+kx=0物体自由振动的微分方程 dt 若受到铅直干扰力F= H sin pt, dx dx 的+2nm+k2x= hsin pt强迫振动的方程 d2u E C,2+2B c+o u = at dt dt LC 串联电路的振荡方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics F = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x m = − − 2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2 sin 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o d2+P(x)+e(x)y=f(x) 二阶线性微分方程 当f(x)=时,二阶线性齐次微分方程 当f(x)≠0时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y+P(x)y+…+Pn(x)y+P(x)y=∫(x) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) 0时， 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y Pn x y Pn x y f x n n + + + − + = −
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 y"+P(x)y+Q(x)y=0(1 定理1如果函数y(x)与y2(x)是方程)的两个解那末 y=C1y1+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常数) 问题:y=C11+C2y2定是通解吗? tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 定理 1 如果函数 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常数） 问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1)