天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十二章 微分方程（12.9）常系数非齐次线性微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第九节常系数非齐次线性微分方程 、f(x)=ePn(x)型 二、f(x)=e[p(x) cos ax+ P sin ax]型 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九节 常系数非齐次线性微分方程 f (x) e P (x) m x 一、 = 型 二、 f x e Pl x x Pn x 型 x    ( ) = ( )cos + sin

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o f(x)=CPn(x)型 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+m+q=0, 通解结构卩=Y+y, 常见类型Pn(x),Pn(x)l4 Pn( re cos pxe, pm(r)e sin ax, 难点:如何求特解?方法:待定系数法 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 一、 f (x) e Pm (x) 型 x =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 设非齐方程特解为y=Q(x)l代入原方程 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p4+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,42+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),J=Cm(x)e“; (2)若是特征方程的单根, 22+p2+q=0,2元+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e; tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o (3)若λ是特征方程的重根 x+p+q=0,2元+p=0, 可设Qx)=x2Q(x),y=x2gn(x)ex 综上讨论 0不是根 设y=x'e^Qn(x),k=1λ是单根, 2λ是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方 程(是重根次数) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方 程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 特别地y+p+如=之 A ex,A不是特征方程的根 22+p+q y= xe4x是特征方程的单根 21+ P 2 Ax e 是特征方程的重根 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2