第2章数值泛函概要 2.赋范线性空间的定义 定义2.12设E为实(或复)线性空间,若对任意的x∈E,都有一个非负的实数x 与之对应,且满足 (1) ‖x‖=0÷)x=0 ‖ax‖=|a|‖xa∈K (齐性) (3) ‖x+y「≤‖x‖ (三角不等式) 则称‖x‖为x的范数,称E为赋范线性空间。上述三条称为范数公理。E中的元素常称 为“点 由于实数的有序性,可以比较大小,因此范数给了元素一种可度量大小的概念 显然,任何赋范线性空间都是距离空间,因在赋范线性空间中,任意两点x,y之间的 距离都可通过范数来定义(称为由范数导出的距离): (x,y)=‖x-y 反之,距离空间不一定是赋范线性空间。只有当距离空间满足 (1)是线性空间, (2)0(x,y)=p(x-y,0) (3)p(ax,0)=|a|p(x,0) 时,才可用距离来定义范数: x‖l=o(x,0) 于是此距离空间便成为赋范线性空间。 3.例 例2.6R:在其中可定义范数 t:2 也可定义范数 显然它们都满足范数公理 如前面所述,在同一集合中可定义不同的距离,在同一线性空间中也可定义不同的 范数。 R”中的距离 p(r, y) p,(r, y)=maxx,-y I 正是由前面两种范数导出的。 例2.7C:,1:在其中可定义范数 x‖=max|x(t) 4t而h 并可由它导出距离 p(r, y)=max |r(t)-y(t
16 数值泛函与小波理论 例2.8工n:在其中可定义范数 1x(t)|2d 并可由它导出距离 (t)-y()' dt 4. Banach空间 若赋范线性空间按距离 要一y 是完备的,则称它为 Banach空间。 前面所举例子都按范数导出的距离完备,所以它们都是 Banach空间 2.2.2按范数收敛 我们规定,赋范线性空间中的距离都是指由范数导出的距离,因此赋范线性空间中的 收敛可按范数来考虑 1.定义 定义2.13设E为赋范线性空间,xn,x∈E,若 则称点列x按范数收敛于x,或称xn强收敛于x,记为 imxn=x(强) 2性质 在赋范线性空间E中,若xn强收敛于x,可以证明有下述性质 (1){x.‖}为有界数列,这可以从 Hx‖ 及 im‖xn-z‖=0 中立即得到。 (2)‖x‖是x的连续泛函。即由‖x-xl-0要推出‖x 就是 x‖-‖x‖ 事实上,由范数的三角不等式可以推出 x-y≤‖z-y 因而有 14xn一Hx|≤Hx,-x1 又已知x强收敛于x,故可得证。 (3)设xx,yy,则
笫2章数僬泛函概要 17 这可由不等式 y 直接得到 (4)设数列ana,已知E中有x,x,则 这可由不等式 laxn-ar‖≤‖a,xn-a,z‖+‖anx-az‖ 及{|an|}的有界性,再根据x,a的收敛性得证。 (3)、(4)说明,在赋范线性空间中,线性运算对范数收敛是连续的。 3.不同范数的等价性 前面说过,在同一个线性空间,可以定义不同的范数,现在就来讨论这些不同的范数 之间是否有关系,若有关系,又有什么样的关系。下面给出有关范数等价的定义与定理 定义214设》x‖:与‖x‖2是同一线性空间E中的两种不同的范数,若由 可推出|xn‖2→0,则称‖x‖:比‖x‖更强;若‖x‖:比‖x‖2更强,又有‖x‖2 比x:更强,则称范数‖l1与‖x|2等价 定理2.11线性空间E中两种范数‖x‖:与‖x‖z等价的充要条件是:存在k1>0, k2>0,使对任何x∈E,有 l2≤‖xl‖1≤kx‖ (2.17) 证明充分性很容易证,因为由此不等式推出等价性是显然的 我们用反证法来证必要性。设已知‖x‖与lx‖2等价,但不等式(2.17)不成立,不 妨设式(2.17)中后一个不等式不能对任意x∈E成立,即对任何n,有xn∈E,使 即 则 H xn fl 这与等价性矛盾,故得证
18 数值泛函与小波理论 2.2.3有限维赋范线性空间 1.定义 定义215若赋范线性空间E存在有限个线性无关的元素e,e2,…,cn,使任意的 ∈E都有 则称E为有限维赋范线性空间,称e,e,…,en}为该空间的基底,称(x,x2,…,xn)为x 关于该基底的坐标。 2.性质 有限维赋范线性空间因维数是有限的,使它除了一般赋范线性空间的基本性质以外, 还有一些特殊性质,主要有 (1)设E是有限维线性空间,则在E上定义的各种范数都相互等价。 (2)有限维赋范线性空间必完备且可分。 (3)赋范线性空间E为有限维的充要条件是E中的任意有界闭集是列紧的(即有界闭 集中的任一点列都有收敛子序列) 有限维赋范线性空间最典型的例子就是n维向量空间R”。可以证明任何一个n维赋范 线性空间都与R为代数同构,因此在讨论中常以R作为“模型”。 224线性算子与线性泛函 1.算子 在集合论中,集合与集合之间的关系称为映射。在函分析中,把具有一定性质的元 素的集合称为空间,把空间到空间的映射称为算子。通常,把算子的定义域和值域放在赋 范线性空间的基础上。也就是说,通常的算子是指由赋范线性空间到赋范线性空间的映 射,常用T表示。用D(T)和N(T)分别表示T的定义域和值域(它们都是斌范线性空间中 的线性子集)。通常我们所用的算子往往具有一些特性,下面介绍几种常用的算子以及它 们的性质。 1)定义 定义2.16设E,E:都为赋范线性空间,T:D(T)→N(T),D(T)CE,N(T)CE1。 (1)若对任意x,y∈D(T)及数a,有 T(r+ y)=Tx+Ty T(ax)=atx (2.18) 则称T为线性算子。如微分算予、积分算子、由矩阵定义的线性变换等都是线性算子。 (2)若对任意xn,x∈D(),当xn→x时,有 Txn→Tx
第2章数值泛西概要 则称T为连续算子。如范数、有界集上的积分算子及古典分析中的连续函数等都是连续 算子。 (3)若存在正数M,对任意x∈D(T),使 ‖Tx‖≤M‖x‖ 则称T为有界算子。当T又是线性算子时,则称T为有界线性算子。如R”中的线性变换、 闭区间上的积分算子、古典分析中的线性函数等都是有界线性算子。 (4)可逆算子。设算子T:D(T)→N(T),若存在T-使 D(T)=N(T)+N(T-D)=D(T) 且对任意x∈DT),当Tx=y(∈N(T))时,有T-y=x,则称T为可逆算子,称T1为T 的逆算子。显然,T和T是互逆的。如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是互逆的 箅子,又如函数和反函数也是互逆的算子等。可逆算子建立了D(T)与N(T)之间的一一对 应关系。 算子可分为线性算子与非线性算子两类,我们这儿讨论的主要是线性算子。 2)线性算子的性质 (1)线性算子T若在某一点xn∈D(T)连续,则T在D(T)上处处连续。 证明对任意x∈D(T),若有x∈D(T),使x→x,则xn-x+x→x0,因为T在x0 连续,所以有 T(xn-x+x0)→Tx 又由子T线性 T(,-+xo)=Txn-Tx+Tx TI,-Tx+ Txo*Txo 所以Tx,Tx→0,即有Txn→+Tx。 证毕 (2)线性算子T有界的充要条件是T连续。 证明先证必要性。设xn,x∈D(T),xn→x,即‖x-x‖→0,又由于T有界,则存 在M>0,使 ‖Tx M‖x-x‖→0 再证充分性(用反证法)。汲T连续但无界,则对每一自然数n,必存在xn∈D(T),使 lTx,‖≥n‖xn‖ (2,20) E, 由T的连续性 Ty→0(零元素) 则应有‖7ym|→0,但由假设