数学分析教学大纲 第一章实数集与函数 §1实数 (一)教学目的:1掌握实数的各条性质,掌握实数的基本概念和最常见的不等式 (二)教学内容:实数的基本性质和绝对值的不等式 基本要求:实数的有序性,稠密性,阿基米德性.实数的四则运算 (三)教学建议: (1)本节主要复习中学的有关实数的知识 (2)讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作 用 §2数集.确界原理 (一)教学目的:掌握实数的区间与邻域概念,集合的有界性概念,初步理解上下确界的 定义及确界原理的实质 (二)教学内容:实数的区间与邻域:集合的上下界,上确界和下确界;确界原理 (1)基本要求:掌握实数的区间与邻域概念;分清最大值与上确界的联系与区别; 结合具体集合,能指出其确界 (2)较高要求:能用定义证明集合A的上(下)确界为5(7),例如,集合A的 上确界为5兮 Wx∈A有x≤5,且M>0,3xo∈A 使得x0>5-E (三)教学建议 (1)本节重点是确界概念和确界原理.不可强行要求一步到位,对多数学生可只布 置证明具体集合的确界的习题. (2)本节难点亦是确界概念和确界原理.对较好学生可布置证明抽象集合的确界的 习题 §3函数概念 (一)教学目的:掌握函数概念和函数的不同的表示方法 (二)教学内容:函数的定义与表示法;复合函数与反函数;初等函数 基本要求:正确理解和掌握函数的概念和性质,了解四则运算,复合函数,反函数的 定义.掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数(比如狄利克莱函数、黎曼函 数等)的定义及性质 (三)教学建议 通过狄利克莱函数和黎曼函数,使学生对函数的认识从具体上升到抽象 §4具有某些特性的函数
数学分析教学大纲 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：1 掌握实数的各条性质，掌握实数的基本概念和最常见的不等式。 (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作 用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，集合的有界性概念，初步理解上下确界的 定义及确界原理的实质. (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1)基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别； 结合具体集合，能指出其确界； (2)较高要求：能用定义证明集合 的上（下）确界为 （ ）．例如，集合 的 上确界为 有 ，且 使得 ． (三) 教学建议： (1) 本节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布 置证明具体集合的确界的习题． (2) 本节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的 习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和函数的不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． 基本要求：正确理解和掌握函数的概念和性质,了解四则运算,复合函数,反函数的 定义.掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数（比如狄利克莱函数、黎曼函 数等）的定义及性质. (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数
)教学目的:掌握函数的有界性,单调性,奇偶性和周期性. (二)教学内容:有界函数,单调函数,奇函数,偶函数和周期函数. (三)教学建议 (1)本节的重点是通过对函数的有界性的分析,培养学生了解研宄抽象函数性质的 方法 (2)本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性 第二章数列极限 §1数列极限概念 )教学目的:掌握数列极限概念,学会证明数列极限的基本方法 (二)教学内容:数列极限 (1)基本要求:正确理解和掌握数列极限的严格定义.懂得数列极限的分析定义中E 与N的关系,学会用数列极限的E一M定义证明极限 (2)较高要求:学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧 (三)教学建议 (1)本节的重点是数列极限的分析定义,要强调这一定义在数学分析中的重要 0 性.具体教学中先教会他们证明xn2 a2=0;dalk1,然后教会 他们用这些无穷小量来控制有关的变量(适当放大但仍小于这些无穷小量) (2)本节的难点仍是数列极限的分析定义.对较好学生可要求他们用数列极限的分 析定义证明较复杂的数列极限,还可要求他们深入理解数列极限的分析定义 §2收敛数列的性质 (一)教学目的:掌握数列极限的主要性质.会运用四则运算定理,两边夹定理,计算极 限,能用海因定理证明极限不存在 (二)教学内容:数列极限的唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性,四则运 算法则和数列的子列及有关子列的定理 (1)基本要求:理解数列极限的唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性,四 则运算法则,并会用其中某些性质计算具体的数列的极限 (2)较高要求:掌握这些性质的较难的证明方法,以及证明抽象形式的数列极限的方 (三)教学建议: (1)本节的重点是数列极限的性质的证明与运用.对多数学生可重点讲解其中几个 性质的证明,多布置利用这些性质求具体数列极限的习题 (2)本节的难点是数列极限性质的分析证明.对较好的学生,要求能够掌握这些性 质的证明方法,并且会用这些性质计算较复杂的数列极限,例如
(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的 方法． (2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性. 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 (一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法． (二) 教学内容：数列极限． (1)基本要求：正确理解和掌握数列极限的严格定义.懂得数列极限的分析定义中 与 的关系，学会用数列极限的 定义证明极限． (2)较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧． (三)教学建议： (1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在数学分析中的重要 性．具体教学中先教会他们证明 ； ；( ，然后教会 他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）． (2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分 析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义． §2 收敛数列的性质 (一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质.会运用四则运算定理, 两边夹定理,计算极 限，能用海因定理证明极限不存在. (二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运 算法则和数列的子列及有关子列的定理． (1)基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四 则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限． (2)较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方 法． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．对多数学生可重点讲解其中几个 性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题． (2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性 质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ， 等．
§3数列极限存在的条件 (一)教学目的:掌握单调有界定理,理解柯西收敛准则 (二)教学内容:单调有界定理,柯西收敛准则 (1)基本要求:掌握单调有界定理的证明,会用单调有界定理证明数列极限的存在 性,其中包括→n存在的证明.理解柯西收敛准则的直观意义 (2)较高要求:会用单调有界定理证明数列极限的存在性,会用柯西收敛准则判别 抽象数列(极限)的敛散性 (三)教学建议: (1)本节的重点是数列单调有界定理.对多数学生要求会用单调有界定理证明数列 极限的存在性 (2)本节的难点是柯西收敛准则.要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛 散性 第三章函数极限 氵1函数极限概念 )教学目的:正确理解和掌握函数极限的严格定义左右极限定义,掌握极限与左右 极限的关系,能够用分析定义证明和计算函数的极限. 二)教学内容:函数各种极限的分析定义 基本要求:掌握当x→列;x→0:x→+0:x→-0:x→z x→和时函数极限的分析定义,并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简 单的函数极限 (三)教学建议: 本节的重点是各种函数极限的分析定义.对多数学生要求主要掌握当x→和时函 数极限的分析定义,并用函数极限的分析定义求函数的极限 函数极限的性质 )教学目的:掌握函数极限的性质 (二)教学内容:函数极限的唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性,四则 运算法则 (1)基本要求:掌握函数极限的唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性, 四则运算法则,并会用这些性质计算函数的极限 (2)较高要求:理解函数极限的局部性质,并对这些局部性质作进一步的理论性的 认识 (三)教学建议:
§3 数列极限存在的条件 (一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则． (二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则． (1)基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在 性，其中包括 存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义． (2)较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别 抽象数列（极限）的敛散性． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列 极限的存在性． (2) 本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛 散性． 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 (一) 教学目的：正确理解和掌握函数极限的严格定义.左右极限定义，掌握极限与左右 极限的关系，能够用分析定义证明和计算函数的极限． (二) 教学内容：函数各种极限的分析定义． 基本要求：掌握当 ； ； ； ； ； 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简 单的函数极限． (三) 教学建议： 本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 时函 数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限． §2 函数极限的性质 (一) 教学目的：掌握函数极限的性质． (二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则 运算法则． (1)基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性， 四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限． (2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的 认识． (三) 教学建议：
(1)本节的重点是函数极限的各种性质.由于这些性质类似于数列极限中相应的性 质,可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系 (2)本节的难点是函数极限的局部性质.对较好学生,要求懂得这些局部的(的 大小)不仅与E有关,而且与点0有关,为以后讲解函数的一致连续性作准备 §3函数极限存在的条件 (一)教学目的:掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理,理解函数极限 的柯西准则 (二)教学内容:函数极限的归结;函数极限的单调有界定理:函数极限的柯西准则 (1)基本要求:掌握函数极限的归结,理解函数极限的柯西准则. (2)较高要求:能够写出函数各种极限的归结原理和柯西准则 (三)教学建议: (1)本节的重点是函数极限的归结原理.要着重强调归结原理中数列的任意性 (2)本节的难点是函数极限的柯西准则.要求较好学生能够熟练地写出和运用函数 各种极限的归结原理和柯西准则 §4两个重要的极限 sin h )教学目的:掌握两个重要极限:x→0x x/=e =1im1+ (二)教学内容:两个重要极限:x→0x x/=e sn A (1)基本要求:掌握x→0x的证明方法,利用两个重要极限计算函数极限 与数列极限 1+ (2)较高要求:掌握x→(x)=证明方法 (三)教学建议 (1)本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明.可用方法 (x) (x) 其中(x)、(x)分别为任 趋于0和趋于∞的函数 (2)本节的难点是利用迫敛性证明x §5无穷小量与无穷大量 (一)教学目的:掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念 (二)教学内容:无穷小量与无穷大量,高阶无穷小,同阶无穷小,等阶无穷小,无穷 (1)基本要求:掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念
(1)本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性 质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系． (2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 （的 大小）不仅与 有关，而且与点 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备． §3 函数极限存在的条件 (一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限 的柯西准则． (二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则． (1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则． (2) 较高要求：能够写出函数各种极限的归结原理和柯西准则． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性． (2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用函数 各种极限的归结原理和柯西准则． §4 两个重要的极限 (一) 教学目的：掌握两个重要极限： ； ． (二) 教学内容：两个重要极限： ； ． (1) 基本要求：掌握 的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限 与数列极限． (2) 较高要求：掌握 证明方法． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法： ； ，其中 、 分别为任一 趋于 0 和趋于∞的函数． (2) 本节的难点是利用迫敛性证明 ． §5 无穷小量与无穷大量 (一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷 大． (1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．
(2)较高要求:能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义,并用分析定义证明无穷 小量与无穷大量.在计算及证明中,熟练使用“”与“O” (三)教学建议: (1)本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念 (2)本节的难点是熟练使用“”与“O”进行运算 第四章函数的连续性 §1连续性概念 )教学目的:掌握函数连续性概念 (二)教学内容:深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等 概念.对 般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类 (1)基本要求:掌握函数连续性概念,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点, 区间上的连续函数的定义 (2)较高要求:讨论黎曼函数的连续性 (三)教学建议 (1)函数连续性概念是本节的重点.对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的 定义,间断点的分类 (2)本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性,可在此节中对较好 学生布置有关习题. §2连续函数的性质 (一)教学目的:掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质 (二)教学内容:连续函数的局部保号性,局部有界性,四则运算:闭区间上连续函数的 最大最小值定理,有界性定理,介值性定理,反函数的连续性,一致连续性. (1)基本要求:掌握函数局部性质概念,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点; 了解闭区间上连续函数的性质 (2)较高要求:对一致连续性的深入理解 (三)教学建议: (1)函数连续性概念是本节的重点.要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定 义,间断点的分类,了解连续函数的整体性质.对一致连续性作出几何上的解释 2)本节的难点是连续函数的整体性质,尤其是一致连续性和非一致连续性的特 征.可在本节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题 §3初等函数的连续性 )教学目的:了解指数函数的定义,掌握初等函数的连续性
(2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷 小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ ”与“ ”． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) 本节的难点是熟练使用“ ”与“ ”进行运算． 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 (一) 教学目的：掌握函数连续性概念． (二) 教学内容：深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等 概念.对一 般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类. (1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点， 区间上的连续函数的定义． (2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性． (三) 教学建议： (1)函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的 定义，间断点的分类． (2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好 学生布置有关习题． §2 连续函数的性质 (一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的 最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． (1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点； 了解闭区间上连续函数的性质． (2) 较高要求：对一致连续性的深入理解． (三)教学建议： (1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定 义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． (2) 本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特 征．可在本节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题． §3 初等函数的连续性 (一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．