ut ed 第三节函数的极限 函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题
第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题
函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限,先给 出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过 程中,如果对应的函数值无限接近某个确定常数, 那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极 限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量 的变化过程不同,函数极限的形式就不同.主要研 究两种情形: 上一页下一页返回
一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给 出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过 程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数， 那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极 限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量 的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研 究两种情形：
1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量x趋近于有限值x,记这一变 化过程为x→x0 仿照数列极限的定义,给出x→x0时函数 的极限的定义 上一页下一页返回
1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变 化过程为 x x0 . x → x0 仿照数列极限的定义，给出 时函数 的极限的定义. x → x0
定义1设函数∫(x)在点x的某一去心邻 域内有定义.如果对于任意给定的正数e(不论它 多么小),总存在正数δ,使得对于适合不等 式0<x-xnkE的一切x,对应的函数值∫(x) 都满足不等式1f(x)-AkE,那么常数A就 叫函数∫(x)当x→∞时的极限,记作 imnf(x)=A或f(x)→>4(当x→x) x→0 E-δ定义 vE>0,38>0,使当0<x-x0<8时, 恒有∫(x)-A<E ● 上一页下一页返回
( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时 ' − '定义 定义1 设函数 在点 的某一去心邻 域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它 多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等 式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就 叫函数 当 时的极限，记作 0 | − | x x0 x f (x) | f (x) − A| A f (x) x → f x A x = → lim ( ) f (x) x0 或 ( ) ( ) x A x x0 f → 当 →
注:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关; 2与任意给定的正数有关 3.(几何解释) 当x在x的去心δ邻 y=f(x) A+8 域时,函数y=∫(x)A 图形完全落在以直A-E 线y=A为中心线 宽为2的带形区域内.0x-0xx+x 显然,找到一个δ后,δ越小越好 上一页下一页现回
y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 = = y A y f x x x 3.(几何解释) 注: 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 显然,找到一个后,越小越好