群论 参考书: 《群论》,韩其智、孙洪州,北京大学出版社 《物理学中的群论》,马中骐,科学出版社 《典型群及其在物理学中的应用》,怀邦,冯承天 等译,科学出版社
群 论 • 参考书： 《群论》，韩其智、孙洪州，北京大学出版社 《物理学中的群论》，马中骐，科学出版社 《典型群及其在物理学中的应用》，怀邦，冯承天 等译，科学出版社
第一章群的基本知识 群 ◆群的定义:假设G是由一些元素组成的集合,即G={…,g,}.在G中各 元素间定义了一种合成规则(操作,运算,群的乘法).如果G对这种合 成规则满足以下四个条件 a)封闭性.G中任意两个元素的乘积仍然属于G. ,g∈G→=h∈G b)结合律 V,g,h∈G→(g)h=f(gh d单位元素集合G中存在一个单位元素e,对任意元素f∈G,有 d)可逆性对任意元素∫∈G,存在逆元素∫∈G,使 f=∥ 则称集合G为一个群
第一章 群的基本知识 1 群 ◆ 群的定义：假设G是由一些元素组成的集合，即G={…, g, …}. 在G中各 元素间定义了一种合成规则 ( 操作，运算，群的乘法 ). 如果G对这种合 成规则满足以下四个条件： a）封闭性. G中任意两个元素的乘积仍然属于G. b) 结合律. c) 单位元素. 集合G中存在一个单位元素e, 对任意元素 , 有 d) 可逆性. 对任意元素 , 存在逆元素 , 使 则称集合G为一个群. f , g G fg = hG f f = ff = e −1 −1 f , g,hG ( f g)h = f (gh) f G f G −1 ef = fe = f f G
●有限群:由有限个元素构成的群群元的个数定义为群的阶 例子: 1)由{-1,0,1}三个数组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群,单位元素为0 2)空间反演群:三维实空间中的恒等变换E(EF=r)和反演变换l r=-r).如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换,则E和/构 成一个二阶有限群,称为空间反演群. 3)n阶循环群C,.由一个元素a的幂构成的有限群.设a"=e,则 C.=e.a. a 构成一个群,称为n阶循环群空间反演群是一个2阶循环群A 4)平面正三角形对称群D3保持平面正三角形空间 位置不变的所有转动变换 e:不转 d:绕z轴转2π/3 f:绕z轴转4π/3a:绕1轴转兀 b:绕2轴转兀 c:绕3轴转π B 定义群的乘法为从左向右依次施行变换,构成一个群
● 有限群: 由有限个元素构成的群. 群元的个数定义为群的阶. 例子: 1) 由 {－1,0,1} 三个数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群, 单位元素为0. 2) 空间反演群: 三维实空间中的恒等变换 E ( )和反演变换 I ( ). 如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 则E 和I 构 成一个二阶有限群, 称为空间反演群. 3) n阶循环群 . 由一个元素 a 的幂构成的有限群. 设 , 则 构成一个群, 称为n阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群. 4) 平面正三角形对称群 . 保持平面正三角形空间 位置不变的所有转动变换 e : 不转 d : 绕 z 轴转2π/3 f : 绕 z 轴转4π/3 a : 绕 1 轴转π b : 绕 2 轴转π c : 绕 3 轴转π 定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 构成一个群. Er = r Ir = −r D3 Cn a e n = { , , , , } 2 −1 = n Cn e a a a 1 3 2 A B C O
●有限群的乘法表:将有限中所有元素的乘积列为一个表称为乘法表 例:1)n阶循环群的乘法表 C e C 9× aala e 2 4 a aaa 6 aa°a d C a ea
● 有限群的乘法表: 将有限中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表. 例: 1) n阶循环群的乘法表 e a 2 a 3 a n−1 a e a 2 a 3 a n−1 a e e e 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a a a a 3 a 3 a 3 a 3 a n−1 a n−1 a 4 a 4 a 4 a 5 a 5 a 6 a n−2 a
例:2)平面正三角形对称群的乘法表 {e,a,f}构成三阶循环群 {e,a},{e,b}和{e,c}均构成二阶循环群 818282e e C eC baC b f f d 6 b b 6c c bd def d C e
例: 2) 平面正三角形对称群的乘法表 { e, d, f } 构成三阶循环群 { e, a }, { e, b }和{ e, c }均构成二阶循环群. e d f a b c e e d f a b c d d f e c a b f f e d b c a a a b c e d f b b c a f e d c c a b d f e 2 g g1 g1 g2