ut ed 第五节/极限运算法则 极服运算法则 二极限的不等性 求极限方法举例 四小结与思考判断题
第五节 极限运算法则 一 极限运算法则 二 极限的不等性 三 求极限方法举例 四 小结与思考判断题
、极限的运算法则 极限的四则运算法则 定理1设lmf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)=A±B; (2)im∫(x)·g(x)=A·B; (3)im f(x)A 其中B≠0. g(x) b 证∵lim∫(x)=Aimg(x)=B ∫(x)=A+ag(x)=B+B其中a→>0,B→>0. 由无穷小运算法则,得 上一页下一页返回
定理1 , 0. ( ) ( ) (3)lim (2)lim[ ( ) ( )] ; (1)lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A,lim g(x) = B. f (x) = A+,g(x) = B + .其 中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得 极限的四则运算法则 一、极限的运算法则
If(x)±g(x)}-(A±B)=a±B→0.:(1)成立 If(x)·g(x)-(A·B=(A+a)(B+β)-AB =(4B+Ba)+aB→>0 (2)成立 ∫(x)AA+a Ba-AB Ba-A→>0 g(x)BB+Bbb(B+B) 又:月→0,B≠0,彐δ>0,当0<x-x0<时, B B<,B+B≥B|-B>B-B=B 上一页下一页返回
[ f (x) g(x)]− (A B)= → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (AB)= (A+)(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( ) + − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
B(B+B)>B3,故1 < B(B+B)B2 有界 ∴(3)成立 推论1如果imf(x)存在,而c为常数则 lim cf(x)=clim f(c) 常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果imf(x)存在而n是正整数,则 lieff(x)"=lim f(x)l 上一页下一页返回
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
定理1给出了极限的四则运算法则,它可以推广到 A=∞或B=∞0以及(3)中的某些情形: (1)当A=∞时,而B≠0时lim[∫(x)+g(x)]= (2)当A=∞时,而B≠0时,im[∫(x)·g(x)=0 (3)当A=∞时,而B≠∞0时,lm()= 4)当B=四时,而A≠∞时,Im/(x)=0 g(x) ∫(x (5)当B=0时,而A≠0时,1mn0(x) 上一页下一页返回
定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到 A = 或 B = 以及（3）中的某些情形： （1）当 A = 时，而 B 时， lim[ f (x) + g(x)] = （2）当 A = 时，而 B 0 时， lim[ f (x) g(x)] = （3）当 A = 时，而 B 时， = ( ) ( ) lim g x f x （4）当 B = 时，而 A 时， 0 ( ) ( ) lim = g x f x （5）当 B = 0 时，而 A 0 时， = ( ) ( ) lim g x f x