第三章点群 ■定义:三维实正交群O(3)的有限子群 第一类点群:只含转动元素,SO(3)的有限子群,也称为 固有点群; 第二类点群:除含有转动元素外,还含有转动反演元素 ■n阶转动轴:设点群G是由绕固定轴k转动生成的n阶群,则 G由Ck2π/n)生成固定轴k称为n阶轴.将元素C(2π/n)记 为Cn,群G是由Cn生成的n阶循环群{Cn,Cn2,,Cn=E, 记为Cn
第三章 点群 ■ 定义: 三维实正交群O(3)的有限子群. 第一类点群: 只含转动元素, SO(3)的有限子群, 也称为 固有点群; 第二类点群: 除含有转动元素外,还含有转动反演元素. ■ n阶转动轴: 设点群G是由绕固定轴k 转动生成的n阶群,则 G由Ck(2/n)生成.固定轴k 称为n阶轴. 将元素Ck(2/n)记 为Cn, 群G是由Cn生成的n阶循环群{Cn, Cn 2 , …, Cn n=E}, 记为Cn
■定理:设G是点群,K是G的转动子群,即K=G∩SO(3),则有 三种可能: 1)G=K,G是SO(③3)的有限子群,即G是第一类点群; 2)G≠K,G包含空间反演元素I,则G=KUIK=K⑧{,I,称 为型非固有点群; 3)G≠K,且IgG,则G与转动群G=KUK+同构,其中 K+={Ig|g∈G,g∈K} 称为P型非固有点群 ■由第一类点群可构造出第二类点群 1)G=KUIK=KOE, IS 2 ) G=KUIK+
■ 定理:设G是点群, K是G的转动子群, 即K=G∩SO(3), 则有 三种可能: 1) G=K, G是SO(3)的有限子群, 即G是第一类点群; 2) G≠K, G包含空间反演元素I, 则G=K∪IK=K{E,I}, 称 为I型非固有点群; 3) G≠K, 且IG, 则G与转动群G=K∪K+同构, 其中 K+ ={Ig|g∈G, g K} 称为P型非固有点群. ■ 由第一类点群可构造出第二类点群: 1) G=K∪IK=K{E,I} 2) G=K∪IK+
3.第一类点群 ■点群是群,满足群的封闭性;点群是有限群,具有有限的元 素;第一类点群是SO(3的子群,群元具有SO(③3〕群元特点 点群G的阶n和转动轴阶n的关系 ∑(1-)=2(1-),n≥n≥2 1)l是极点G轨道的个数,同一轨道上的极点是具有相同阶数 n的转动轴与球面的交点。 2)n是第条G轨道中极点对应的转动轴的阶 3)n是点群G的阶数。 4)n/n;是第条G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个G轨 道点
■ 点群是群, 满足群的封闭性; 点群是有限群, 具有有限的元 素;第一类点群是SO(3)的子群, 群元具有SO(3)群元特点. 点群G的阶n和转动轴阶ni的关系. 1) l是极点G轨道的个数, 同一轨道上的极点是具有相同阶数 ni的转动轴与球面的交点。 2）ni是第i条G轨道中极点对应的转动轴的阶。 3）n是点群G的阶数。 4）n/ni是第i条G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个G轨 道点。 ), 2 1 ) 2(1 1 (1 1 i l i i n n n n 3. 第一类点群
■第一类点群的分类 5种可能情况 n,=n.n=2.3 2)7=3,n1=n2=2,n3=n/2,n=46 3)7=3,n1=2,n2=3,n3=3,n=12 4)=3,n1=2,m2=3,n3=4,n=24 5)7=3,n1=2,m2=3,n2=5,n=60
■ 第一类点群的分类. 5种可能情况: 1) l 2, n1 n2 n, n 2,3, 2) l 3, n1 n2 2, n3 n / 2, n 4,6, 3) l 3, n1 2, n2 3, n3 3, n 12 4) l 3, n1 2, n2 3, n3 4, n 24 5) l 3, n1 2, n2 3, n3 5, n 60