ut ed 第九节/连续函数的性质 连续函数的运算性质 二闭区间上连续函数的性质 小结与思考判断题
第九节 连续函数的性质 一 连续函数的运算性质 二 闭区间上连续函数的性质 三 小结与思考判断题
、连续函数的运算性质 1、四则运算的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续, 则f(x)±8(x),f(x)8(x,f(x)(g(x)≠0) g(x) 在点x0处也连续 例如,Simx,c0sx在(-∞,+∞)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 上一页下一页返回
定理1 在点 处也连续. 则 若函数 在点 处连续 0 0 0 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 1、四则运算的连续性 一、连续函数的运算性质
2、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 例如,y=sinx在 上单调增加且连续, 22 故y= arcsinx在-1,也是单调增加且连续 同理y= arccos在-1,单调减少且连续 y= arctan,y= arc cotx在-,+o上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 上一页下一页返回
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续. 2、反函数与复合函数的连续性
定理3若imq(x)=a,函数∫(u)在点连续, 则有im∫|q(x)=∫(a)=∫img(x) 证∵∫(u)在点u=a连续, VE>0,彐m>0,使当u-a<m时, 恒有f(a)-f(a)<战成立 又:img(x)=a 对于n>0,彐8>0,使当0<x-x<6时, 上一页下一页返回
定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x → → → = = = 则有 若 函数 在点 连续, 证 f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时
恒有g(x)-a=-a<m成立 将上两步合起来: VG>0,3δ>0,使当0<x-x<δ时, f(u)-f(a)=/lp(x)-f(a)<E成立 lim fl(x)=f(a)=f[limp(x) x→>x0 上一页下一页返回
恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) 成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 f x x x → =