《数学分析》试题库：数学分析试题（二年级第一学期）

(三十二)数学分析试题(二年级第一学期) 一叙述题(每小题10分,共30分) 1叙述含参变量反常积分f(x,y)x一致收敛的Cahy收敛原理 2叙述 Green公式的内容及意义 3叙述n重积分的概念 二计算题(每小题10分,共50分) 1.计算积分I cdy-ydx ,其中C为椭圆2x2+3y2=1,沿逆时针方向 2.已知二=f(x,-y),其中f(u,v)存在着关于两个变元的二阶连续偏导数,求 关于x,y的二阶偏导数 3.求椭球体++二=1的体积。 4.若l为右半单位圆周,求yds 5.计算含参变量积分(a)=h-2cosx+a2)k(<1的值 三讨论题(每小题10分,共20分) 1若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛,则称此积分对参数的已知值一致收敛 试讨论积分 在每一个固定的a处的一致收敛性 论函数Dy在的性,其中(在p上是正的连函数 数学分析试题(二年级第一学期)答案1 叙述题(每小题10分,共30分) 1含参变量反常积分「f(x,y)关于y在[c,4上一致收敛的充要条件为:对于任意 给定的E>0,存在与y无关的正数A,使得对于任意的AA>A0, f(x,y)k<s,y∈c,]成立。 2 Green公式:设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如 果函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续偏导数,那么 ∫P+b=(22-①M小

1 （三十二）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 叙述含参变量反常积分  + a f (x, y)dx 一致收敛的 Cauchy 收敛原理。 2 叙述 Green 公式的内容及意义。 3 叙述 n 重积分的概念。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1．计算积分  + − = C x y xdy ydx I 2 2 3 4 ，其中 C 为椭圆 2 3 1 2 2 x + y = ，沿逆时针方向。 2．已知 z = f (xz,z − y), 其中 f (u,v) 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求 z 关于 x, y 的二阶偏导数。 3．求椭球体 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 的体积。 4．若 l 为右半单位圆周，求 l | y | ds 。 5．计算含参变量积分  = − +  0 2 I(a) ln(1 2acos x a )dx ( a 1 )的值。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。 试讨论积分  + + = 0 2 2 1 a x adx I 在每一个固定的 a 处的一致收敛性。 2 讨论函数 dx x y yf x F y  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) 的连续性，其中 f (x) 在 [0,1] 上是正的连续函数。 数学分析试题（二年级第一学期）答案 1 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 含参变量反常积分  + a f (x, y)dx 关于 y 在 [c,d] 上一致收敛的充要条件为：对于任意 给定的   0， 存在与 y 无关的正数 A0 ， 使得对于任意的 0 A , A  A ， f (x, y)dx , y [c,d] A A      成立。 2 Green 公式：设 D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如 果函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上具有连续偏导数，那么      −   + = D D dxdy x P x Q Pdx Qdy ( )

其中∂D取正向,即诱导正向。 Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系 3.设9为R”上的零边界区域,函数u=f(x)在9上有界。将g用曲面网分成n个 小区域△21 △2,(称为Ω的一个分划),记△V为△g2的体积,并记所有的 小区域△2的最大直径为λ。在每个△2上任取一点x,若λ趋于零时,和式 =∑f(x△ 的极限存在且与区域的分法和点x的取法无关,则称f(x)在9上可积,并称此极限为 f(x)在有界闭区域9上的n重积分,记为 I=lfdi f(P)Al 二计算题(每小题10分,共50分) 1解令l:x=cost,y=sint,则 xd-yx_√3 √3 (cos t+sinn)dt= 2解令l=x,v=二-y,则 az ay az au az a: aau, af(au, aav 2: afau af(au af. Oy Ou Oy Ou( ay) Ov a a= a au af axay Ou axay Ou( ax/ ay)av axoy ax人ay

2 其中 D 取正向，即诱导正向。 Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。 3．设  为 n R 上的零边界区域，函数 u = f (x) 在  上有界。将  用曲面网分成 n 个 小区域   n , ,..., 1 2 （称为  的一个分划），记 Vi 为 i 的体积，并记所有的 小区域 i 的最大直径为  。在每个 i 上任取一点 i x ，若  趋于零时，和式 i n i I =  f xi V =1 ( ) 的极限存在且与区域的分法和点 i x 的取法无关，则称 f (x) 在  上可积，并称此极限为 f (x) 在有界闭区域  上的 n 重积分，记为 i n i I = fdV =  f Pi V   = → 1 0 lim ( )  。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1 解 令 sin , 2 1 cos , 3 3 l : x = t y = t 则   3 3 (cos sin ) 6 3 3 4 3 4 2 2 2 0 2 2 2 2 = + = + − = + − =    t t dt x y xdy ydx x y xdy ydx I C l . 2 解 令 u = xz, v = z − y, 则 , x z z x x u   = +   , x z x v   =   , y z x y u   =   −1.   =   y z y v x v v f x u u f x z     +     =   ， y v v f y u u f y z     +     =   . 故 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2           +      +          +     =   x v v f x v v f x u u f x u u f x z , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2             +     +             +     =   y v v f y v v f y u u f y u u f y z , 2 2 2 2 2 2 2                     +      +                    +      =    y v x v v f x y v v f y u x u u f x y u u f x y z 即

a:au a ar(au) af a2v a2 av 0x2 0v2(ax ③822( af a1 ay) av Oy av(Oy 321+0(x9) au2 z af af(ouYou, af av, af(orov axon au dxdy au2(oax人ay) Ov axon av2(ax人ay ax八ay axa a2 f a=a= 3解由于对称性,只需求出椭球在第一卦限的体积,然后再乘以8即可, 作广义极坐标变换 x= arcos 6,y= brsm 6(a>0.,b>0,0<r<∞,0≤b≤2r 这时椭球面化为 =c,-(c9sm)1=c1= 又 =abr D(r,6) ye bsin e bros 8 于是 V=l=(x, y)do drde D(r,6) d abrar 1-r2dr d(1-r2) 所以椭球体积

3 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2           +             +        +   +          +     =           +      +          +     =   x z v f x z v f x z z x u f x z x x z u f x v v f x v v f x u u f x u u f x z 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         −     +     +             +            =             +     +             +     =   y z v f y z v f y z x u f y z x u f y v v f y v v f y u u f y u u f y z                     +      +                    +      =    y v x v v f x y v v f y u x u u f x y u u f x y z 2 2 2 2 2 2 2 1 . 2 2 2 2 2 2         −       +      +                   +   +           +     = y z x z v f x y z v f y z x x z z x u f x y z x y z u f 3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以 8 即可。 作广义极坐标变换 x = ar cos, y = brsin  （ a  0, b  0, 0  r  , 0    2 ）。 这时椭球面化为 2 2 2 2 2 ] 1 ( cos ) ( sin ) 1 [ c r b br a ar z = c − + = −   。 又 abr b br a ar y y x x D r D x y r r = − = =        sin cos cos sin ( , ) ( , ) ， 于是       drd D r D x y V z x y d z r xy xy  xy  = = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 8 1 d c r abrdr abc r r dr    = −  = − 1 0 2 1 0 2 2 0 1 2 1     = − − − 1 0 2 2 1 ) (1 ) 2 1 ( 2 abc r d r  abc r abc 6 (1 ) ] 3 2 [ 2 2 1 1 0 2 3  2  = −  − = 。 所以椭球体积

4 V=-tabe 4解l的方程为:x2+y2=1,x≥0。由y= d ±√1+y -dx=± 符号的选取应保证d≥0,在圆弧段AC上,由于ax>0,故 dx 而在圆弧段CB上,由于<0,故 ds 所以 dx- dx=2 5解(a)=D(1-2cosx+a2),当<1时,由于 2+a2=(1-l)2>0 故h(1-2 a cos x+a2)为连续函数且具有连续导数,从而可在积分号下求导 -2 coSx+ 2a (a) 1-2a x+a I cOS X d x a(1+a2) COS x 1g =0 2

4 V abc 3 4 = 。 4 解 l 的方程为： 1, 0 2 2 x + y = x  。由 y x y  = − ， y dx dx y x y ds y dx =  + =  + =  2 2 2 2 1 符号的选取应保证 ds  0 ，在圆弧段 AC 上，由于 dx  0 ，故 y dx ds = 而在圆弧段 CB 上，由于 dx  0 ，故 y dx ds = − 所以 dx y y y dx I yds y l AC CB         = =  +  −    1 2 0 1 1 0 = − =   dx dx 。 5 解  = − +  0 2 I(a) ln(1 2acos x a )dx 。当 a 1 时，由于 − +  − + = 2 2 1 2acos x a 1 2a a 2 (1− a )  0， 故 ln(1 2 cos ) 2 − a x + a 为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。  − + − +  =  0 2 1 2 cos 2cos 2 ( ) dx a x a x a I a          − + − = +  0 2 2 1 2 cos 1 1 1 dx a x a a a  + − − = −   0 2 2 (1 ) 2 cos 1 a a x dx a a a        + − + + − = −   0 2 2 2 cos 1 2 1 (1 ) 1 x a a dx a a a a   0 1 2 2 1       − + = − x tg a a arctg a a 0 2 2 = −  =   a a

于是,当园<1时,/(a)=C(常数)。但是,1(O)=0,故C=0,从而/(a)=0 三讨论题(每小题10分,共20分) 1解设a0为任一不为零的数,不妨设ao>0。取δ>0,使a0-6>0。下面证明 积分l在(a-o,a0+)内一致收敛。事实上,当a∈(a0-δ,a+)时,由于 6 +a x +(a0-8) 且积分 -dx 1+(an-6 收敛,故由 Weierstrass判别法知积分 rx 在(a0-5,a0+o)内一致收敛,从而在ao点一致收敛。由a0的任意性知积分I在每一 个a≠0处一致收敛 下面说明积分/在a=0非一致收敛。事实上,对原点的任何邻域(-,δ)有 VA>0,有 -dx (a>0) 由于 故取0<E<,在(-6,δ)中必存在某一个a0>0,使有 卜>E 1+ 因此,积分在a=0点的任何邻域(-6,δ)内非一致收敛,从而积分/在a=0时非 致收敛 2.解当y≠0时,被积函数是连续的。因此,F(y)为连续函数。 当y=0时,显然有F(0)=0。 当y>0时,设m为f(x)在[O,1上的最小值,则m>0。由于

5 于是，当 a 1 时， I(a) = C （常数）。但是， I(0) = 0 ，故 C = 0 ，从而 I(a) = 0 。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 解 设 0 a 为任一不为零的数，不妨设 a0  0 。取   0 ，使 a0 −  0 。下面证明 积分 I 在 ( , ) a0 − a0 + 内一致收敛。事实上，当 a( , ) a0 − a0 + 时，由于 2 2 1 0 a x a +  2 2 0 0 1 (a ) x a   + − +  ， 且积分 dx a x a  + + − + 0 2 2 0 0 1 (  )  收敛，故由 Weierstrass 判别法知积分 dx a x a  + 0 + 2 2 1 在 ( , ) a0 − a0 + 内一致收敛，从而在 0 a 点一致收敛。由 0 a 的任意性知积分 I 在每一 个 a  0 处一致收敛。 下面说明积分 I 在 a = 0 非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域 (− , ) 有： A  0 ，有 ( 0) 1 1 2 0 2 2  + = +   + + a t dt dx a x a aA 。 由于   + + →+ = + = + 0 2 2 0 1 1 2 lim  t dt t dt a aA ， 故取 2 0     ，在 (− , ) 中必存在某一个 a0  0 ，使有   +  + | 1 | 2 aA t dt ， 即   +  + | 1 | 2 2 0 0 A a x a dx 因此，积分 I 在 a = 0 点的任何邻域 (− , ) 内非一致收敛，从而积分 I 在 a = 0 时非一 致收敛。 2．解 当 y  0 时，被积函数是连续的。因此， F( y) 为连续函数。 当 y = 0 时，显然有 F(0) = 0 。 当 y  0 时，设 m 为 f (x) 在 [0,1] 上的最小值，则 m  0 。由于