数值泛函与小波理论 ‖T ≥1+0 产生矛盾,因此T必有界 证毕 (3)设E,E1悬赋范线性空间,D(T)CE,N(T)cE,线性算子T:D(T)→N(T 则T有界的充要条件是T将D(T)中的任一有界集映成N(T)中的有界集。 证明先证必要性。设A是D(T)中任一有界集,由于T有界,则对任意x∈A,存在 M>0,有‖Tx‖≤M‖x‖。又A有界,故可找到正数K>0,使‖x‖<K,也就有 Tx‖≤MK,说明A的像TA是N(T)中的有界集。 再证充分性。考虑DT)中的单位球 s={xx‖=1,z∈D(T) 由假设,存在M>0,使当x∈s时,有‖Tx≤M。对D(T)中的任一非零元素,因 (x/x‖)∈s,故 ‖T ≤M Tx≤M‖x‖ 对x=0元,上式显然成立,也就是对任意x∈D(T)上式恒成立,故证得T有界 证毕 (4)线性算子空间。设E,E1为同一数域K上的赋范线性空间,把由E→E1的线性算 子的全体记为(E→E1),称为线性算子空间,把由E→E1的有界线性算子的全体记为 B(E→E1),称为有界线性算子空间。若在其中定义线性运算 (T1+T2)x=T1x+T2xx∈D(T1)∩D(T (aT)x=a(Tx)x∈D(T),a∈K D(T), D(TI), D(T2)Ce Ta, T, T2IEE 则(E→E1),B(E→E1)成为线性空间。 这里主要讨论B(E→E1)。若在B(E→E1)中定义范数 x (2,21) 则B(E→E1)成为赋范线性空间。 特别地,若E为赋范线性空间,而E1为 Banach空间,则可以证明B(E→E1)亦为 Banach空间。 (5)设T为线性算子,则T有界的充要条件为‖T有界。 证明先证必要性。因T有界,即存在M,使对任意x∈D(T),有 Tx≤M‖z‖ 则当‖x|=1时有Tx‖≤M、从而有 HT=8P,Tx<+∞ 再证充分性。因为
第2章数值泛函概要 则更有 +∞ 且有 ≤‖T‖ 所以 ‖Tx‖≤‖T‖x‖ 显然,此式对D(T)中一切x均成立,故T有界 证毕 (6)共鸣定理。设E是 Banach空间,E1是赋范线性空间,T∈(E→E;),则对任意 x∈E,{Tx‖}有界的充要条件为{T,‖}有界。(证明从略) 此定理又常称为一致有界定理。 (7)逆算子定理。设E,E1都是 Banach空间,若T为E到E1的一一对应的有界线性 算子,则逆算子T必存在,而且T-也是有界线性算子。(证明从略) (8)有限维赋范线性空间中的一切线性算子均有界(即连续)。 2.线性泛函 1)概念 由前面所述,由赋范线性空间到赋范线性空间的映射称为算子。我们又根据不同的特 性定义了各种不同的算子。这里我们专门讨论一种特定的算子—泛函 当算子的像集为数域时,我们称算子为泛函。根据前面各种算子的定义,我们照样可 以定义线性泛函、连续泛函、有界线性泛函等,这里不再重复。泛函一般用f,h,g,… 表示。 因为泛函首先是算子,线性泛函也是线性算子,所以前面讨论的有关线性算子、有界 线性算子的性质对线性泛函和有界线性泛函来说也都是具备的。这里,主要是讨论它们所 特有的一些性质及表现形式。 2)泛函的例 例2.9赋范线性空间E上的范数x‖是E上的一个泛函f,它把E上的每个元素 映射成为一个非负的实数。前面已讨论过范数的连续性,所以范数是一个连续泛函,但不 是线性的。其中该泛函本身的范数有‖f‖=sup‖x‖=1 例210R",数组(c,c2,…,cn),对任意x(x1,x2,…,x)∈R, f(r) (2.22) 即为R”上的个有界线性泛函。因此,对应于不同的数组(c1,a2,…,cn),都有一个R"上 的有界线性泛函与之对应。如把c(c1,c2,…,c)视为一个固定的常向量,则f可视为向量 的点积运算。泛函的范数就可表为 这是因为 f‖ sup f(x) z‖=1
数值泛函与小波理论 =x·c|≤‖x‖‖ 对‖x‖=1取上确界就有 ‖fl≤c 另一方面,若取x=c,则有 f‖≥ 故有 C 例2.11在C,上,对任意x()∈Cn f(x)= r()dt (2.23) f(r)= max x(t) (2,24) 都是C[,上的泛函。前者有界线性,后者只是有界。其中‖∫‖=b-a。 例2.12C.,表示[a,付上的所有连续可微函数构成的赋范线性空间,则对任意 f(r) d ja+b 为CA上的一个线性泛函。 例213在L上定义 f(x)=Ix(t)Idt (2.25) 它显然是一个有界泛函。 读者不妨自己再举一些不同的泛函实例。 3)线性泛函的性质 除了线性算子所具有的性质以外,线性泛函作为特定的线性算子,还具有一些另外的 特性 (1)设E是赋范线性空间,f是E上的线性泛函,则∫有界的充要条件是∫的零空间 M={x|f(x)=0}为E中的完备子空间 证明先证必要性。因为f有界即连续,则对M中任一点列xn,当x→x时,有 ∫(xn)→∫(x),而xn∈M,所以∫(x)=0。根据∫的连续性有∫(x)=0,即x∈M 再证充分性(用反证法,设M完备,而∫无界,则对任一n,有‖x,=1,而使 f(x, f(rv) x1∈E (2.26) 则 f(y,) 所以 ∈M 又
笫2章数值泛函概要 1 f(,I If(an) 根据范数连续性,应有 )~0(零元素 所以 f(x:) 但是 1-x)=-Ax}-1 1≠0 即-了(n,)M,这与M完备相矛盾,散得证 证毕 (2)设f是R上的任一有界线性泛函,则必存在惟一的y∈R",使得对任意x∈R", f(x)=∑yx (2.27) 且‖f‖=‖y‖ 反之,对每一y∈R",由式(2.27)定义的f(x)必是R"上的有界线性泛函,且 ‖f‖=‖ (3)延拓定理(Hahn- Banach)。设E为赋范线性空间,L为E的线性子空间,则L上的 任一有界线性泛函∫,都可以延拓到全空间E上,且保持范数不变。即存在E上的有界线 性泛函F,满足: ①当x∈L时,F(x)=f(x) ②‖F‖g=!f‖t (2.28) (证明从略 (4)存在定理。设E是具有非零元素的赋范线性空间,则E上有足够的非零有界线性 泛函存在,至少对每个x∈E,x0≠0,存在有界线性泛函f,使得 fo|=1,|f0(x)|=‖xo‖ (证明从略) 2.2.5赋范线性空间中的各种收敛 1.元紊序列的收敛性 ])强收敛〔按范数收 设E是赋范线性空间,x,z∈E,若 zn-x‖ 则称元素序列强收敛于x,记为 (强)imxn=x或 x(n→∞) (2.30)
24 数值泛函与小波理论 )弱收敛 设E是赋范线性空间,x,x∈E,若对E上的任一有界线性泛函∫,有 ∫(xn)→f(x) 则称元素序列xn弱收敛于x,记为 (弱) limx=x或xn 2.算子序列的收敛性 1)一致收敛 设E,E1为赋范线性空间,Tn,T∈B(E→E1),若 ‖T-T‖ 则称算子序列Tn一致收敛(或依范收敛)于T,记为 一致)lmT=T或T.→T(n→∞) 2)强收敛 设E,E1为赋范线性空间,TnT∈B(E→E1),若对任一x∈E,有 则称算子序列T强收敛于T,记为 (强)imT.=T或7n →T(n→∞) 3)弱收敛 设E为赋范线性空间,若对每个x∈E及E上的任一有界线性泛函f,都有 f(Tnx)→f(Tx) 则称算子序列Tn弱收敛于T,记为 (弱)imT。=T或Tn T(n 3泛函序列的收敛性 1)强收敛 设E为赋范线性空间,f,f为E上的有界线性泛函及泛函序列,若 J-f‖→0n→∞ 则称泛函序列∫,强收敛于∫,记为 (强)limf∫。=∫或fn f(n→∞) 2)弱收敛 设E为赋范线性空间,f,f为E上的有界线性泛函及泛函序列,若对每个x∈E,有 n。 则称泛函序列f弱收敛于f,记为 (弱)limf,=f或f f on 4.几点结论 (1)上述各种收敛序列的极限都是惟一的