数值泛函与小波理论 充“空隙”的办法将 Cauchy点列在本空间外的极限点(无理数)加进来,使有理数空间扩充 为完备的实数空间。现在我们就来研宄:对于一般的不完备距离空间,是否都能扩充成为 完备的距离空间?这就是距离空间的完备化问题。 定义2.4设R,R1都是距离空间,如果存在-个由R到R1的映射T,使对一切 ,y∈R有 (TI, Ty)-p(, y) 其中P,A1分别为R,R1上的距离,则称T为R到R1的等距映射,此时,称R与R1为 等距。 于是,对任一距离空间,有下面的完备化定理 定理24对于每个距离空间R,必存在一个完备的距离空间R,使得R等距于R中 的一个稠密(稠密的定义在下一节中给出)子空间R1,并称R0为R的完备化空间,若除去 等距不计,则R是惟一的。(证明从略) 由于距离空间的数学命题不涉及元素的具体意义,在一个空间中成立的数学命题可以 通过映射T在另一等距空间中同样成立,因此在抽象的意义上,可以把彼此等距的空间视 为同一空间,称为空间的“同一化”。于是,任一距离空间的完备化空间在等距“同一化”的 意义上是惟一的 在完备化的距离空间中,实际上是把所有原来的 Cauchy点列的极限点都“扩充”进 来了 有理数空间按p(x,y) y|完备化的空间是实数空间。 Cta空间按 完备化的距离空间为L6,等等。 今后,我们总是把任何距离空间看成是它的完备化空间的子空间 可以证明,完备空间的任何闭子集都是完备的子空间,而任一距离空间的完备子空间 都是闭集 2.L4距离空间的稠密性与可分性 1.稠密性 定义2.5设A,B为距离空间R中的子集。若对任意的x∈A,总存在B中的点列x 收敛于x,则称B在A中稠密,简称B在A中稠 注意,在稠密的定义中,并不要求A→B或B→A,甚至B与A可以没有公共点,但要 求B→A。意即若B在A中稠,则A中的任一点或者是B的点,或者是B的聚点 如有理数集和无理数集,它们互不包含,也没有公共点,但它们互在对方中稠,因为 任何一个有理数都是无理数集的聚点,反之,任何一个无理数都是有理数集的聚点。 显然,有理数集和无理数集都在实数集中稠(按R中规定的距离)。 又如Ct中任何一个连续函数f(x),必存在P,中的多项式列在[a,b上按
第2章数僬泛西概要 r(t)-y(r) 收敛于f(x),故P,在C-,b中稠 若按I,中定义的距离 x(t)-y(r)2dt 则P,,C[a,都在ll中稠 关于稠密性,还有两种等价的说法: (1)若B在A中稠,则对任意的x∈A及任意的E>0,总存在B中的点y,使得 p(x, y)<e 反之亦然 (2)若B在A中稠,则对任意的δ>0,必有 Ua(x)→A (2,16) 其中δ(x)表示以x为中心,以δ为半径的小球,反之亦然 显然,若A在B中稠,B在C中稠,则A在C中稠 利用稠密的概念可以定义距离空间中的可分性。 2.可分性 定义2.6距离空间R称为可分的,悬指在E中存在一个稠密的可列子集。 由于可分空间中含有稠密的可列子集,这给研究问题带来了很多方便。当我们讨论有 关可分空间的某些问题时,往往可以从空间中挑选出对那个问题最合适的一个可列子集进 行分析、研究,然后再利用稠密性推广到整个空间中去。又如可在某些可分空间中适当地 引进可列的维数概念,先在有限维的子空间中讨论问题,然后再用一系列的有限维子空间 去暹近原来的可分空间 例如空间R是可分的,因为坐标为有理数的点的全体在R中构成一个可列的稠密子 集。特别地,当n=1时,意即有理数集为实数集中一个可列的稠密子集 又如C的与L是可分的,因为[ab]上以有理数为系数的多项式的全体构成了它们 的可列的稠密子集。 有界数列全体组成的空间C是不可分的。其中定义距离 p(T,)= supIx-y I 这里,x=(x1,x2,…),y=( 证明把中形如 或1 的点的全体记为m,则m为不可列集(用二进制表示实数,则m可与实数集对应)。对于m 中任意两点间的距离,根据定义有p(x,y)=1 若设C可分,则中存在一个可列的稠密子集X0,以X中的每个点为中心,以1/3 为半径作小球,则根据式(2.16),应有
数值泛函与小波理论 因X可列,所以小球只有可列个,而m中的点不可列,且都在小球中,因此至少有一个小 球中含有m的两个点。设m中的两个点x41),a2含在某个以x∈X为中心的小球中 则有 1=(x(1),x(2)≤p(x0,x(1)+p(x0,x2)<1+ 显然矛盾,故严不可分 证毕 215距离空间的列紧性 实数城除了前面所说的完备性、稠密性和可分性以外,还有一个很重要的性质—列 紧性,即任何有界数列必有收敛的子列。但在一般的距离空间中,木一定有此性质。下面 讨论距离空间中具有列紧性的集合 1.定义 定义2.7设A是距离空间R的子集。如果A的任何点列都有子列在R中收敛,则称 A是列紧集。若R本身是列紧的,则称R为列紧空间 特别地,列紧集若是闭集,则称为紧集。 定义2.8设A,B为距离空间R中的点集。如果存在e>0,使得以B中每一点为中 心的ε开球o(x,)的全体覆盖了A,即 Uo(x,)A 则称B是A的一个c网。 定义29设A为距离空间R的子集。如对任意给定的E>0,A总存在有限的c网, 即存在{x1,x2,…,xn},使 (x;,E)2A 其中(x1,x2,…,x}依赖于e,则称A是完全有界集 显然,完全有界集必为有界集。 可以证明,凡是完全有界集都可分。 2定理 定理25若A是距离空间R中的列紧集,则A必为完全有界集;反之,当R是完备 的距离空间时,若A是完全有界集,则A必是列紧集。 此定理说明,在完备的距离空间中,列紧集与完全有界集是等价的。但在非完备的距 离空间中,集合的列紧性与完全有界性并不相当,列紧集一定完全有界,完全有界集不一 定列紧。 定理2.6有限个列紧集的并仍是列紧集。 定理27空集是紧集,任何有限集也是紧集 定理2.8若∫是定义子紧集上的连续函数,则∫的值域也是紧集 定理2.9若∫是定义于紧集上的连续函数,则∫必有界,且可达到其上、下确界 上述各定理的证明从略
第2章数值泛函概要 13 2.16距离空间上的连续映射 前面我们研究了距离空间的一些基本概念与性质。但有时常常还要遇到两个距离空间 的关系间题,这就需要讨论映射及映射的连续性等概念。 定义2.10设R,R1为距离空间,如果对每一个x∈R,都有R1的某一个点y按一定 规律与之对应,则称这个对应关系是一个R到R1的映射。记为 T 其中T为对应关系(即映射)。 又著对每一个给定的x∈R,映射T满足下面的性质:对任给的>0,存在8>0,使 得当 p(,, ro)<o 时,有 p(Tx,Txo)<E 则称映射T在x0连续。如果T在R中的每一点都连续,则称T为R到R1的连续映射。 例如,设R是一个以P为距离的距离空间,x∈R是一个定点,令 T'a=p(r, zo) 则T就是一个由R到实数空间的连续映射。 事实上,对于任意的x,y∈R,由三角不等式可得 IT(y)-T(x)l=p(y, xo)-p(x,) sp(y,x) 对任给的>0,取8=,则当(y,x)<时,有 (y)-T(x)≤p(y,x)< 成立 通常的连续函数就是由实数空间到实数空间的连续映射。 定理2.10由距离空间R到距离空间R1中的映射T连续的充要条件为;对于任 ∈R,当R中的xn收敛于x时,相应地,在R中有Txn收敛于Tx。 证明先证必要性。设T为R到R1的连续映射,由定义知,对任给的c>0,存在 δ>0,使对任意的x∈R,当y∈R满足 p(y,)<d 时,相应地,就有 P(Ty, Tx)<e 于是,当R中有x→x时,对上述给定的8>0,存在N,当n>N,有 p(Ix, x)<o 此时,相应地,有 p(,, Tx)<e 也即
数值泛函与小波理论 再证充分性(用反证法)。设对R中的每点x都有当x2→x时,相应地,在R1中有 Txn→Tx,而T在R中某点x不连续,则必存在某个正数6,使得对于每个1/n(n=1,2, ),即使有 但仍然有 p(Txn,Tx0)≥ 与假设矛盾。定理得证 证毕 连续映射关于列紧性有两条性质: (1)若连续映射定义于距离空间中的紧集,则它的像集也是紧集。 (2)若连续映射T定义于距离空间中的紧集,而的像集在实数空间中,则Tx可以 达到最大值与最小值 由此可见,在距离空间中,定义在紧集上的连续映射,它的基本性质类似于数学分析 中定义在闭区间上的连续函数。 2.2赋范线性空间 2.2.1定义和例 1.线性空间的定义 定义2.11集合E称为实(或复)线性空间,如果: (1)在E内定义了“+”法运算,则使对任意的x,y∈E,都有 ①x+y=y+x且仍在E中; (交换律) 结合律) ③存在“零元素0∈E,有x+0=x; ④存在“逆元素”-x∈E,有x+(-x)=0 (2)定义了E中元素与实(复)数域K中的数之间的“数乘”运算,则使对任意的 ,y∈E,a,B∈K,都有 ①a(x)=(a)x且仍在E中; ②1·x=x,0·x=0 ③(a+P)x=ax+x; ④a(x+y)=ax+ay 这个线性空间的定义,读者早在线性代数中就已熟悉。现在我们在线性空间的基础上 来定义范数,从而引出赋范线性空间