(三十四)数学分析试题(二年级第一学期 一叙述题(每小题10分,共30分) 叙述第二类曲线积分的定 2叙述 Parseval等式的内容。 3叙述以2丌为周期且在[-丌,z]上可积函数f(x)的 Fourier系数、 Fourier级数及其 收敛定理。 二计算题(每小题10分,共50分) 1.求/=(x+y)ds,此处l为联结三点O(0,O),4(10),B(1)的直线段。 2.计算二重积分 =x2+y2)d 其中Ω是以y=x,y=x+a,y=a和y=3a(a>0)为边的平行四边形。 3.一页长方形白纸,要求印刷面积占Acm2,并使所留叶边空白为:上部与下部宽度 之和为hcm,左部与右部之和为rcm,试确定该页纸的长(y)和宽(x),使得它的总面积为 最小 4.计算三重积分 y+--)dxdydz 其中V是椭球体2b2c 5.计算含参变量积分 x(b>a>0)的值 三讨论题(每小题10分,共20分) au au 1已知l= arccos,-,试确定二阶偏导数与的关系 axay a 2讨论积分[x0sxt的敛散性 数学分析试题(二年级第一学期)答案 一叙述题(每小题10分,共30分 1设L为定向的可求长连续曲线,起点为A,终点为B。在曲线上每一点取单位切向 量r=(cosa,cosB,cosy),使它与L的定向相一致。设 f(x,y, z )=P(x,y, 3)i+O(x,y, =)j+R(x,y, =)k 是定义在L上的向量值函数,则称
1 （三十四）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 叙述第二类曲线积分的定义。 2 叙述 Parseval 等式的内容。 3 叙述以 2 为周期且在 [−, ] 上可积函数 f (x) 的 Fourier 系数﹑Fourier 级数及其 收敛定理。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1．求 = + l I (x y)ds ，此处 l 为联结三点 O(0,0), A(1,0), B(1,1) 的直线段。 2．计算二重积分 I = (x + y )dxdy 2 2 。 其中 是以 y = x, y = x + a, y = a 和 y = 3a (a 0) 为边的平行四边形。 3．一页长方形白纸，要求印刷面积占 2 Acm ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度 之和为 h cm ，左部与右部之和为 r cm ，试确定该页纸的长 ( y) 和宽 (x) ，使得它的总面积为 最小。 4．计算三重积分 = + + V dxdydz c z b y a x I ( ) 2 2 2 2 2 2 。 其中 V 是椭球体 1 2 2 2 2 2 2 + + c z b y a x 。 5．计算含参变量积分 ( 0) 0 − + − − dx b a x e e ax bx 的值。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 已 知 y x u = arccos ，试确定二阶偏导数 x y u 2 与 y x u 2 的关系。 2 讨论积分 dx x x x x p q + + cos 的敛散性。 数学分析试题（二年级第一学期）答案 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 设 L 为定向的可求长连续曲线，起点为 A ，终点为 B 。在曲线上每一点取单位切向 量 = (cos,cos ,cos ) ，使它与 L 的定向相一致。设 f (x, y,z) = P (x, y,z) i + Q (x, y,z) j + R (x, y,z) k 是定义在 L 上的向量值函数，则称
f.s=P(x,y, = Q(x,y, =)cos B+ R(x, y, =)cos rds 为∫定义在L上的第二类曲线积分(如果右面的第一类曲线积分存在)。 2.函数f(x)在[-x,n]可积且平方可积,则成立等式 ∑G2+b)=-f(xb 3若f(x)是以2x为周期且在[-丌,]上可积的函数,则 f(x) cos ndx(n=012…) bn f(x) sin ndx(n=1,2… 称为函数f(x)的 Fourier系数,以f(x)的 Fourier系数为系数的三角级数 (a 称为函数f(x)的 Fourier级数,记为 ∑( a coS x+ b sin nx) 收敛定理:设函数f(x)在[-丌,丌]上可积且绝对可积,且满足下列两个条件之一,则∫(x) 的 F级数在x收敛于f(x+)+/(x-) (1)f(x)在某个区间[x-6,x+O]d>0)上是分段单调函数或若干个分段单调函数 之和 (2)f(x)在x处满足指数为a∈(0,1的 Holder条件 二计算题(每小题10分,共50分) =(x+y)=+n+k 在直线段OA上y=0,d=dx得 (x +y)ds d x 在直线段AB上x=1,d=得 2
2 = L f ds + + L P(x, y,z)cos Q(x, y,z)cos R(x, y,z)cosds 为 f 定义在 L 上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。 2．函数 f (x) 在 [−, ] 可积且平方可积，则成立等式 ( ) − = + + = a b f x dx a n n n ( ) 1 2 2 1 2 2 2 0 。 3 若 f (x) 是以 2 为周期且在 [−, ] 上可积的函数，则 − = a f x nxdx n ( ) cos 1 (n = 0,1,2, ) − = b f x nxdx n ( )sin 1 (n = 1,2, ) 称为函数 f (x) 的 Fourier 系数，以 f (x) 的 Fourier 系数为系数的三角级数 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 称为函数 f (x) 的 Fourier 级数，记为 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n an nx bn nx a f x 。 收敛定理：设函数 f (x) 在 [−, ] 上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则 f (x) 的 Fourier 级数在 x 收敛于 2 f (x+) + f (x−) 。 （1） f (x) 在某个区间 [x − , x + ]( 0) 上是分段单调函数或若干个分段单调函数 之和。 （2） f (x) 在 x 处满足指数为 (0,1] 的 Holder 条件。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1。解 I x y ds x y ds l OA AB BO = ( + ) = + + ( + ) 。 在直线段 OA 上 y = 0, ds = dx 得 2 1 ( ) 1 0 + = = OA x y ds xdx 在直线段 AB 上 x = 1, ds = dy 得
在直线段BO上y=x,d=√2dx得 (x+ y)ds= 2dx=√2 所以 )dxd x+ 3.解由题意,目标函数与约束条件分别为S=xy与x>r,y>h,(x-r)(y-h)=A作 Lagrange函数L=xy+和(x-r)(y-h)-1则有 L =y+(y-h)=0, L,=x+A(x-r)=0 (x-r)(y-h)-A=0. 由此解得 y 于是有 +h 并且易知它是极小值点 4.解由于 I=22dxdyd=+k2-dxdyds+[== 其中 这里D表示椭球面 1 b2(1 它的面积为
3 2 3 ( ) (1 ) 1 0 + = + = AB x y ds y dy 在直线段 BO 上 y = x, ds = 2dx 得 ( ) 2 2 2 1 0 + = = BO x y ds x dx 所以 I = 2 + 2 。 2．解 − + = + = a a y y a x y dxdy dy x y dx a 3 2 2 2 2 4 ( ) ( ) 14 . 3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. 作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], 则有 = − − − = = + − = = + − = ( )( ) 0. ( ) 0, ( ) 0, L x r y h A L x x r L y y h y x 由此解得 , 1 . 1 , 1 = − + + = + = r h Ah y r x 于是有 , h. r Ah r y h Ar x = + = + 并且易知它是极小值点. 4．解 由于 dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I V V V = + + 2 2 2 2 2 2 ， 其中 − = D a a V dx dydz a x dxdydz a x 2 2 2 2 ， 这里 D 表示椭球面 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y + − 或 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − a x c z a x b y 。 它的面积为
z(b11-=2) 于是 - dxdydz 同理可得 adxdyd==-rabc , dxdyd=,mbe。 所以 1=3--nabc=-rabco 5.计算含参变量积分 0dx(b>a>0)的值 -ax -bx 解因为三 =[e-d,所以 d=af,e-”d。注意到en 在域:x≥0,a≤y≤b上连续。又积分[e”对a≤y≤b是一致收敛的。事实上 当x≥0,a≤ysb时,0<e<e,但积分e收敛。故积分ed是 致收敛的。于是,利用对参数的积分公式,即得 从而得 三讨论题(每小题10分,共20分) 1当0<x≤y时,u= arccos,|-= arccos a 2
4 ( 1 )( 1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 a x bc a x c a x b − − = − 。 于是 dx abc a x x a bc dxdydz a x a a V 15 4 (1 ) 2 2 2 2 2 2 = − = − 。 同理可得 dxdydz abc b y V 15 4 2 2 = ， dxdydz abc c z V 15 4 2 2 = 。 所以 I abc abc 5 4 ) 15 4 = 3( = 。 5．计算含参变量积分 ( 0) 0 − + − − dx b a x e e ax bx 的值。 解 因为 e dy x e e b a xy ax bx − − − = − ，所以 dx dx e dy x e e b a xy ax bx + − + − − = − 0 0 。注意到 xy e − 在域： x 0, a y b 上连续。又积分 e dx xy + − 0 对 a y b 是一致收敛的。事实上， 当 x 0, a y b 时， xy ax e e − − 0 ，但积分 e dx ax + − 0 收敛。故积分 e dx xy + − 0 是一 致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 dx e dy dy e dx xy b a b a xy + − + − = 0 0 。 从而得 a b y d y d x d y e d x x e e b a b a xy ax bx ln 0 0 = = = − + − + − − 。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 当 0 x y 时， y x u = arccos y x = arccos 。 y x x u − = − 1 1 2 x y 1 = 2 ( ) 1 x y − x − ， y y x u − = − 1 1 − 2 3 2y x 2 ( ) 2 y y x x − =
a-u axd ayax 4vxvy2(y-x) 4y(y-x)2 4x(y-x) 于是,当0<x≤y时,O2na2n andy ayax 当0<x≤y时,u= arccos 2.首先注意到 (1-p)x+(1-q)x 若 max(P, q)>1,则当x充分大时x x?+r/<0,从而当x充分大时函数+x 是递 减的,且这时 又因 cos xdx=snA≤1(对任何A>丌),故 x cOSx dx收敛。 若max(p,q)≤1,则恒有 ≥0,故函数 在x≥丌上是递增的。于是 V正整数n,有 x X+x x+x =常数>0 +∞ x cos x 故不满足 Cauchy收敛准则,因此 dx发散 (三十五)数学系二年级《数学分析》期末考试题
5 x y u 2 2 3 4 ( ) 1 x y − x = ， y x u 2 4 ( ) 1 2 x y y − x = + 2 3 4y( y x) x − 2 3 4 ( ) 1 x y − x = ， 于是，当 0 x y 时， x y u 2 = y x u 2 。 当 0 x y 时， y x u = arccos y x = arccos 。 2．首先注意到 ( ) 2 (1 ) (1 ) p q p q p q x x p x q x x x x + − + − = + 。 若 max( p,q) 1 ，则当 x 充分大时 0 + p q x x x ，从而当 x 充分大时函数 p q x x x + 是递 减的，且这时 x→+ lim p q x x x + = 0。 又因 A xdx cos = sin A 1 （对任何 A ），故 dx x x x x p q + + cos 收敛。 若 max( p,q) 1 ，则恒有 0 + p q x x x ，故函数 p q x x x + 在 x 上是递增的。于是， 正整数 n ，有 dx x x n x x n p q + + 4 2 2 cos 2 2 dx x x n x n p q + + 4 2 2 2 2 4 + p q = p q + 8 2 = 常数 0， 故不满足 Cauchy 收敛准则，因此 dx x x x x p q + + cos 发散。 （三十五）数学系二年级《数学分析》期末考试题