ut ed 第八节函数的连续性与间断点 函数的连续性 函数的间断点类型 小结与思考判断题
第八节函数的连续性与间断点 二 函数的间断点类型 一 函数的连续性 三 小结与思考判断题
函数的连续性 1.函数的增量 设函数f(x)在U(x0肭内有定义,Vx∈U(x0), △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 y=∫(x)-∫(x),称为函数f(x)相应于△x的增量 y=f(x) y=f(x) △ △ △r △ xn+△xx0 x0+△xx 上一页下一页返回
1.函数的增量 称为自变量在点 的增量. 设函数 在 内有定义, 0 0 0 0 , ( ) ( ) ( ), x x x x f x U x x U x = − y = f (x) − f (x ),称为函数 f (x)相应于x的增量. 0 x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x) 一、函数的连续性
2.连续的定义 定义1设函数f(x)在U2(x)内有定义,如 果当自变量的增量Δ趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即im△y=0或 △→0 imf(x0+△x)-f(x0)=0,那末就称函数 △x→>0 ∫(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=∫(x)-f(x Ax→>0就是x→x0,Ay→0就是f(x)→f(xn) 上一页下一页返回
2.连续的定义 定义 1 设函数 f ( x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点x0 连续,x0 称为 f (x)的连续点. , 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义2设函数f(x)在U(x)内有定义,如果 函数∫(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 点x处的函数值f(x),即limf(x)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x连续 "E-8"定义 VE>0,3δ>0,使当x-xn<δ时, 恒有f(x)-f(x)<G 上一页下一页返回
定 义 2 设函数 f ( x)在 ( ) 0 U x 内有定义,如 果 函 数 f ( x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点 0 x 处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f ( x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
例1试证函数f(x) xsin-,x≠0, 在x=0 0, 处连续 证∵ lim x sin-=0 x→0 又∫(0)=0,lim∫(x)=∫(0 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续 上一页下一页返回
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →