第五章对称群 行置换算子集:杨盘T的所有的行置换算子组成的集合 R()={p} 列置换算子集:杨盘T的所有的列置换算子组成的集合 C(7)={(} P(T)=∑pQ(7)=∑ q∈C(T 杨算子 E()=P()Q(7)=∑∑6 p∈R(T)q∈C(T)
行置换算子集: 杨盘T的所有的行置换算子组成的集合. 第五章 对称群 R(T) p 列置换算子集: 杨盘T的所有的列置换算子组成的集合. C(T) q ( ) ( ) ( ) ( ) q p R T q C T P T p Q T q 杨算子: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q p R T q C T E T P T Q T pq
引理1:设T和T是两个杨盘,由置换r相联系,即T"=rT 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(ij处的数字变 到ST中的(k)处,则s=rsr-1作用在T”上将T中位于(Gij) 处的数字变到ST中的(k,)位置 推论:设T和T是由置换r相联系的两个杨盘,即T=rT, 则有下列关系成立 R(T)=rRT)r, C(T)=rC(T)r P(T)=rP(T)r, Q(T)=rO)- E(T)=rE(T)r
引理1: 设T和T是两个杨盘, 由置换r相联系, 即T=rT. 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变 到sT中的(k,l)处, 则s=rsr –1作用在T上将T中位于(i,j) 处的数字变到sT中的(k,l)位置. 推论: 设T和T是由置换r相联系的两个杨盘, 即T=rT, 则有下列关系成立 1 1 1 1 1 ( ') ( ) , ( ') ( ) ( ') ( ) , ( ') ( ) ( ') ( ) R T rR T r C T rC T r P T rP T r Q T rQ T r E T rE T r
引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列 置换,T与T通过置换pq相联系,即T=pqT 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在T的同一列 设两个杨盘由置换r相联系,即T"=T.如果T中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T的同 列,则置换r必可表示为r=pq 引理3:设T和T′是属于不同杨图]和[]的两 个杨盘,[λ]λ勹,则总能找到两个数字同时出现在 T的同一行和T′的同一列
引理2: 设T是杨盘, p和q分别是T的任意行置换和列 置换, T 与 T 通过置换 pq 相联系, 即T=pqT. 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在 T 的同一列. 设两个杨盘由置换 r 相联系,即T=rT. 如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T 的同 一列, 则置换 r 必可表示为 r = pq. 引理3: 设 T 和 T 是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ] 的两 个杨盘, [λ]>[λ ], 则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T 的同一列
引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘T的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足 E(T)E(T)=0 推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T,必有 E(T)E(T)=0 引理5:设x=2x(S) 是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘 T的任意行置换p和列置换q满足 SX 则x与杨算子E()差一个常数因子,即x=6E(T)
引理4: 如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T 的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足 推论: 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T , 必有 E(T ')E(T) 0 E(T ')E(T) 0 引理5: 设 ( ) n s S x x s s 是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子, 即 q pxq x x E(T)
引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本 原幂等元相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个 不可约表示空间,其维数是n!的因子 引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的
引理6: 对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本 原幂等元. 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个 不可约表示空间, 其维数是 n! 的因子. 引理7: 同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的