第四章转动群 41一些基本概念 ■连续群( continuous):群元可由一组独立实参量描述,其中至 少有一个参量在一定区域是连续变化的 设连续参量的数目为r(1≤r≤n),记为a={a1,a2…,.r r称为该连续群的阶.r个独立实参量的变化区域称为群参数空间 连续群G的群元g,可由r个连续实参量表征,即 g=g(a)=g(a1,a2…,) 单位元素可用一组零参量来表征,即 e=g(0,0,,0
第四章 转动群 ■ 连续群(continuous): 群元可由一组独立实参量描述, 其中至 少有一个参量在一定区域是连续变化的. 设连续参量的数目为r(1≤r≤n), 记为 r称为该连续群的阶. r个独立实参量的变化区域称为群参数空间 1 2 { , ,..., } = r 4.1 一些基本概念 连续群G的群元g, 可由r个连续实参量表征, 即 1 2 ( ) ( , ,..., ) r g g g = = 单位元素可用一组零参量来表征, 即 e g = (0,0,...0)
李群 设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征,即 8=g(a=g(ai,a,, .,a) 如果g(x)满足下列条件: 1)集合G中存在一个单位元素e=g(oo),对任意元素g()∈G,有 g(a)g(oo)=g(ao)g(a)=g(a) 通常取αo={0,0,…,O} 2)逆元:对任意α,存在α,使 glag(a)=g(ag(a)=g0) 即对于任意元素g(a)∈G,存在逆元素g(a)=8()
设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征, 即 如果g()满足下列条件: 1) 集合G中存在一个单位元素e=g (0 ), 对任意元素g()G,有 李群 1 2 ( ) ( , ,..., ) r g g g = = 0 0 g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 2) 逆元: 对任意, 存在 , 使 g g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) (0) = = 通常取0={0,0, …, 0} 即对于任意元素g()G,存在逆元素 1 g g ( ) ( ) − =
3)封闭性:对于任意两个元素g(o),g(β)∈G,其乘积仍属于G.即 在参数空间中能够找到一个参数y,使 g(y)=g(a)8(B)∈G Y是a,B的实函数,即y=f(c,B) 4)结合律:对任意α,β,y,有 lg(a)g(b)lg()=g(alg(b)g(r) 或(2,B)2y]=f[a,f(B,y) 5)γ=f(αβ)是αβ的解析函数(连续可微),α是α的解析函数 则连续群G称为李群.y=f(a,B)称为李群的结合函数
3) 封闭性: 对于任意两个元素g(), g()G, 其乘积仍属于G. 即 在参数空间中能够找到一个参数, 使 g g g G ( ) ( ) ( ) = 4) 结合律: 对任意, , , 有 [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] g g g g g g = 是,的实函数, 即 则连续群G称为李群. = f ( , ) 或 f f f f [ ( , ), ] [ , ( , )] = 5) =f(,)是,的解析函数(连续可微), 是的解析函数. = f ( , ) 称为李群的结合函数
■连通性如果从连续群的任意一个元素出发,经过r个参量的 连续变化,可以到达单位元素,或者说如果连续群中的任意两 个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来,则称此连续群 是连通的.这样的李群称为简单李群,否则称为混合李群. ■紧致李群:如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群,否则称为非紧致李群 ■例 1)所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群 群参数为群元本身.结合函数为γ=+β.一阶非紧致简单李群 2)空间平移群:三维实空间中的所有平移变换T(a)r=r+a 构成一个李群,群元由三个独立的实参量(a2n2a2)表征 三阶非紧致简单李群
■ 连通性:如果从连续群的任意一个元素出发, 经过r个参量的 连续变化, 可以到达单位元素, 或者说如果连续群中的任意两 个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来, 则称此连续群 是连通的. 这样的李群称为简单李群, 否则称为混合李群. ■ 紧致李群: 如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群, 否则称为非紧致李群. 1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群. 群参数为群元本身. 结合函数为=+. 一阶非紧致简单李群 ■ 例: 2)空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换 T a r r a ( ) = + 构成一个李群, 群元由三个独立的实参量 ( , , ) x y z a a a 表征. 三阶非紧致简单李群
3)二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群.即 ab满足条件 uu=e, det(u)=1 a b SU(2)的群元可写为L= b a*/,|a2+|b 或写为Lt e cosn - e sinn e sinn e n 其中ξ,,n为实参量 SU(2)是一个三阶紧致简单李群
3) 二维特殊酉群SU(2): 所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群. 即 SU(2)是一个三阶紧致简单李群 其中,,为实参量. a b u c d = 满足条件 † uu E u = = , det( ) 1 SU(2)的群元可写为 2 2 * * , | | | | 1 a b u a b b a = + = − 或写为 cos sin sin cos i i i i e e u e e − − − =