《数学分析》试题库：一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题

二十七)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是( A连续 有界 C无间断点 D有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[-a,a]上可积,则() A f(x)dx=2.f(x)dx b f(x)dx=0 cJf(x)k=-2」(x)DJ“/(x)x=2a 3、下列广义积分中,收敛的积分是() A dx dx c sin xdx db 4、级数∑an收敛是∑an部分和有界的( A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关条件 5、下列说法正确的是( A∑an和∑b收敛,∑anb也收敛 B∑an和∑b发散,∑(an+bn)发散 C∑an收敛和∑b发散,∑(an+b)发散 D∑an收敛和∑b发散,∑ab发散 6、∑an(x)在[a,6收敛于a(x),且an(x)可导,则( ∑a(x)=a(x) Ba(x)可导 c∑∫an(x)=J(x)D∑ax)-致收敛,则ax)必连续 7、下列命题正确的是()

1 （二十七） 一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数 f (x) 是奇函数，且在 [−a, a] 上可积，则（ ） A   = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) B ( ) = 0 − a a f x dx C   = − − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) D f (x)dx 2 f (a) a a = − 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A  1 0 1 dx x B  + 1 1 dx x C  + 0 sin xdx D − 1 1 3 1 dx x 4、级数   n=1 n a 收敛是   n=1 n a 部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A   n=1 n a 和   n=1 n b 收敛，   n=1 anbn 也收敛 B   n=1 n a 和   n=1 n b 发散，   = + 1 ( ) n an bn 发散 C   n=1 n a 收敛和   n=1 n b 发散，   = + 1 ( ) n an bn 发散 D   n=1 n a 收敛和   n=1 n b 发散，   n=1 anbn 发散 6、 ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 收敛于 a(x) ，且 a (x) n 可导，则（ ） A ( ) ( ) ' 1 ' a x a x n  n =  = B a(x) 可导 C   =  = b a n b a an (x)dx a(x)dx 1 D   =1 ( ) n n a x 一致收敛，则 a(x) 必连续 7、下列命题正确的是（ ）

A∑an(x)在[ab]绝对收敛必一致收敛 B∑an(x)在[ab]一致收敛必绝对收敛 C若lmn|an(x)=0,则∑an(x)在[ab]必绝对收敛 D∑an(x)在[a,6]条件收敛必收敛 8、∑(-1y1x2m的和函数为() n+ c arctan x D cOSx 9、函数z=h(x+y)的定义域是() (x,y)|x>0,y>0}B{(xy)y>-x (x,y)|x+y≠ 10、函数f(x,y)在(x0,y)可导与可微的关系() A可导必可微 B可导必不可微 C可微必可导 D可微不一定可导 、计算题:(每小题6分,共30分) 1、「,f(x)=4,求「(2x2+1)d 2、计算 dx 3、计算∑x”的和函数,并求y(-1) 4、设z 求 5、计算im 三、讨论与验证题:(每小题10分,共20分)

2 A ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 绝对收敛必一致收敛 B ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 一致收敛必绝对收敛 C 若 lim | ( ) |= 0 → a x n n ，则 ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 必绝对收敛 D ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 条件收敛必收敛 8、   = + + − 0 2 1 2 1 1 ( 1) n n n x n 的和函数为（ ） A x e B sin x C arctan x D cos x 9、函数 z = ln( x + y) 的定义域是（ ） A (x, y)| x  0, y  0 B (x, y) | y  −x C (x, y) | x + y  0 D (x, y)| x + y  0 10、函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、  = 9 1 f (x)dx 4 ，求  + 2 0 2 xf (2x 1)dx 2、计算  + 0 + + 2 2 2 1 dx x x 3、计算   =1 1 n n x n 的和函数，并求   = − 1 ( 1) n n n 4、设 xy x y z − + = 1 arctan ，求 x y z y z x z        2 2 2 2 2 , , 5、计算 2 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）

1、讨论∫(xy)={x2+y (x,y)≠(00)在(00)点的可导性、连续性和可微 (x,y)=(0,0) 2、讨论∑(-1) 的敛散性 四、证明题:(每小题10分,共30分) 1、设SA④)1+n3,证明{S(x)在(-+)上一致收敛 2、设=e},证明它满足方程x+y=0 3、设f(x)在[Q连续,证明∫mnx)=万∫/(smx),并求 T xsin x dx 参考答案 5、C6、D7、D8、C9、B10、C 「。x/(2x2+1)dx=j(2x2+1)1(2x2+1)(3分)令t=2x2+1, xf(2x +l)dx f(u)dh=2(3分) ad(+x)=lm arctan(1 1+(1+x) 3、解:令(x)∑x,由于级数的收敛域[1)(2分,f(x)=∑x=,1 f()=x、M=1-x)(2分),令x=-1,得∑ 1) =In 2 解:两边对x求导 0(3分 5、解:0斗 x2+y2x(5分)mnx2y 0(1分) 由于x-2,x2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)

3 1、 讨论      =  = + 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在 (0,0) 点的可导性、连续性和可微 性 2、 讨论   = + − 2 2 1 2 sin ( 1) n n n n n x 的敛散性 四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 2 2 1 ( ) n x x S x n + = ，证明 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛 2、设 y x z = e ，证明它满足方程 = 0   +   y z y x z x 3、 设 f (x) 在 [0,1] 连 续 ， 证 明   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx ，并求  +  0 2 1 cos sin dx x x x 参考答案 一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C 二 、 1 、   + = + + 2 0 2 2 2 0 2 (2 1) (2 1) 2 1 x f (2x 1)dx f x d x （ 3 分）令 2 1 2 u = x + ，   + = = 9 1 2 0 2 ( ) 2 2 1 xf (2x 1)dx f u du （3 分） 2、 + 0 + + 2 2 2 1 dx x x = 4 (1 ) lim arctan(1 ) 1 (1 ) 1 lim 0 0 2  + = + = →+ + + →  A A A A d x x x （6 分） 3、解：令 f (x) =  =1 1 n n x n ，由于级数的收敛域 [−1,1) （2 分）， ( ) ' f x = x x n n −  =  = − 1 1 1 1 ， f (x) = ln(1 ) 1 1 0 dt x t x = − −  （2 分），令 x = −1 ，得 ln 2 ( 1) 1 = −   n= n n 4、解：两边对 x 求导 2 1 1 x z x + = , 2 1 1 y z y + = （3 分） , 0 (1 ) 2 , (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =    + − =   + − =   x y z y y y z x x x z （3 分） 5、解： x x y x y  + 0 | | 2 2 2 （5 分） lim 0 2 2 2 0 0 = + → → x y x y y x （1 分） 由于 x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分）

1、解、J20)=m f0+Ax)-f(0)2m0 0,同理f1(00)=0(4分), Ax 又但沿直线y=mx趋于(0,0),如f(x、的1+2所以0x2+y 不存在 也即函数在(0,0)点不连续,(4分),因而函数在(0,0)点也不可微(2分) 2、解:由于m01(-12"sm2x =2sn2x(3分),即2sn2x<1级数绝对收敛 n 2sn2x=1条件收敛,2sin2x>1级数发散(7分) 所以原级数发散(2分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:因为S(x)→S(x)=0(2分),因为(x)-S(=,1 (4 +n2x22 分),VE>0,取N 当n>N时,S(x)-S(x)≤<E,对一切x∈ 成立,所以{Sn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛(4分) az 1 a =-e-2,(7分)则x+yx,=1x 记”→=0(3分) 证明:令x=丌-1 ∫f(mnx)=∫"(-)/(m(x-m)h=可丁/(mn-∫mnm得证(7分) xsin x SIn x dx (3分) 0 1+os-x 0 1+cos x 8 (二十八)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、函数∫(x)在[a,b上可积的充要条件是() AVε>0,3>0和δ)0使得对任一分法△,当λ(△)<δ时,对应于o≥E的那些区间△x 长度之和∑△x< BVE>0,o>0,δ>0使得对某一分法A,当λ(△)<6时,对应于o≥E的那些区间△长度 之和∑△后<σ CVε>0,彐8>0使得对任一分法Δ,凯(Δ)<8时,对应于o≥E的那些区间△长度之和 ∑Δ石<E

4 三、1、解、 0 0 lim (0 ) (0,0) (0,0) lim 0 0 =  =  +  − =  → x  → x f x f f x x x ，同理 f y (0,0) = 0 （4 分）， 又但沿直线 y = mx 趋于（0，0）， 2 0 1 lim ( , ) m m f x y y mx x + = = → ，所以 2 2 ( , ) (0,0) lim x y xy x y → + 不存在， 也即函数在（0，0）点不连续，（4 分），因而函数在（0，0）点也不可微（2 分） 2、解：由于 x n x n n n n n 2 2 1 | 2sin 2 sin lim | (−1) = + → （3 分），即 2sin 1 2 x  级数绝对收敛 2sin 1 2 x = 条件收敛， 2sin 1 2 x  级数发散（7 分） 所以原级数发散（2 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：因为 Sn (x) → S(x) = 0 （2 分），因为 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2  + − = ，（4 分），   0 ，取       = 2 1 N ，当 n  N 时， −    n S x S x n 2 1 ( ) ( ) ，对一切 x (−,+) 成立，所以 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛（4 分） 2、 y e x z y x 1 =   ， 2 y x e y z y x = −   ，（7 分）则 0 1 2 = − =   +   y x ye y xe y z y x z x y x y x （3 分） a) 证明：令 x =  − t     = − − − = −        0 0 0 0 x f (sin x)dx ( t) f (sin( t))dt f (sin t)dt t f (sin t)dt 得证（7 分） 1 cos 8 sin 1 cos 2 sin 2 0 2 0 2     = + = +   dx x x dx x x x （3 分） （二十八）一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1、 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ） A >0, >0 和>0 使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度之和∑xi<  B >0,>0, >0 使得对某一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度 之和∑xi<  C >0,>0 使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度之和 ∑xi< 

DVE>0,>0,彐δ〉0使得对任一分法A,当λ(Δ)<6时,对应于o≥的那些区间△x1 长度之和∑x<G 2、函数(x)连,则在[ab上(0=( A f(2x) B 2f(2x) C 2f(x) D 2f(2x)-f(x dx B 2 发散 4、lman≠0,则∑an() A必收敛 B必发散 C必条件收敛 D敛散性不定 5、若级数∑b是级数∑an的更序级数,则( A∑an和∑b同敛散 B∑bn可以发散到+ C若∑an绝对收敛,∑bn也收敛D若∑an条件收敛,∑b也条件收敛 6、∑an(x)在[ab]致收敛,且an(x)可导(m1,2…),那么() Af(x)在[ab]可导,且f(x)=∑an(x) Bf(x)在[ab]可导,但∫(x)不一定等于∑an(x) C∑an(x)点点收敛,但不一定一致收敛 D∑an(x)不一定点点收敛 7、函数项级数∑an1(x)在D上一致收敛的充要条件是() Ave),3N()>0,使ymn)N有|an(x)+…an(x)<E Bve>0,No,使mnN有{an(x)+…n(x)<E

5 D >0, >0， >0 使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度之和∑xi<  2、函数 f (x) 连续，则在[a,b]上  x f t dt dx d 2 1 ( ) =（ ） A f (2x) B 2 f (2x) C 2 f (x) D 2 f (2x) − f (x) 3、 = − 1 1 2 1 dx x （ ） A -2 B 2 C 0 D 发散 4、 lim  0 → n n a ，则   n=1 n a ( ) A 必收敛 B 必发散 C 必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数   n=1 n b 是级数   n=1 n a 的更序级数，则（ ） A   n=1 n a 和   n=1 n b 同敛散 B   n=1 n b 可以发散到+∞ C 若   n=1 n a 绝对收敛，   n=1 n b 也收敛 D 若   n=1 n a 条件收敛，   n=1 n b 也条件收敛 6、 ( ) 1 a x n  n  = 在 [a,b] 一致收敛，且 a (x) n 可导（n=1,2…），那么( ) A f（x）在 [a,b] 可导，且   = = 1 ' ' ( ) ( ) n f x a n x B f（x）在 [a,b] 可导，但 ( ) ' f x 不一定等于   =1 ' ( ) n a n x C   =1 ' ( ) n a n x 点点收敛，但不一定一致收敛 D   =1 ' ( ) n a n x 不一定点点收敛 7、函数项级数 ( ) 1 a x n  n  = 在 D 上一致收敛的充要条件是（ ） A >0, N（）>0，使m>n> N 有 +   + ( ) ( ) 1 a x a x n  m B >0, N>0，使m>n> N 有 +   + ( ) ( ) 1 a x a x n  m