数学：《群论》第二章 群表示论基础（左维）

第二章群表示论基础 1线性代数基本知识 ■线性空间:定义在数域K上的向量集合{1,V2,V3,…}=V.在 V中定义了加法和数乘两种运算.设v1,V2,V3∈V, a,b,c∈K,向量的加法和数乘具有封闭性,且满 足下列条件: 加法 数乘: V1+V2=V2+V1 V=V v2+v3)=(V1+V2)+v (abv=a(bv) 唯一的O元存在,使v1+0=V1 a(v,+v2)=av,av 对任一向量v1,有唯一逆元 (a+bv=av+bv -v1)存在,使V1+(-v1)=0 则称向量集合V为一个线性空间

第二章 群表示论基础 1 线性代数基本知识 ■ 线性空间: 定义在数域K上的向量集合{v1 , v2 , v3 , …}=V. 在 V中定义了加法和数乘两种运算. 设v1 , v2 , v3∈V, a,b,c ∈K, 向量的加法和数乘具有封闭性, 且满 足下列条件: 加法: v1+v2= v2+ v1 v1+(v2+v3 )= (v1+v2 )+v3 唯一的0元存在, 使v1+0= v1 对任一向量v1 , 有唯一逆元 (-v1 )存在, 使v1+(- v1 )=0 数乘: 1v= v (ab)v=a(bv) a(v1+v2 )= av1+av2 (a+b)v=av+bv 则称向量集合V为一个线性空间

线性空间Ⅴ中线性无关向量的最大数目,称为V的维数。 线性无关:对于Ⅴ中的n个向量v1,yv2,…Vn∈V,如 果不存在n个不全为零的数a1,a2,…,an∈K,使 得 avi+ a2v2 十 +aV,=0 则称这n个向量v1,v2,Vn是线性无关的 线性空间V中的任意一个向量ⅴ∈V可由这n个向量 1,V2,…yVn生成,即 V=XIV+x2V2 t x nvn 其中x1,x2,…,xn∈K.这n个向量v1,v2,…vn称 为线性空间V的一组基向量,通常记为:e1,e2,…,en

线性无关: 对于V中的 n 个向量 v1 , v2 , …vnV, 如 果不存在 n 个不全为零的数 a1 , a2 , …, an K ，使 得 a1v1 + a2v2 + … + anvn =0 则称这n 个向量 v1 , v2 , …vn是线性无关的. 线性空间V中的任意一个向量 v V可由这n 个向量 v1 , v2 , … vn 生成，即 v = x1v1 + x2v2 + … + xnvn 其中x1 , x2 , …, xn K. 这n 个向量 v1 , v2 , … vn称 为线性空间V的一组基向量, 通常记为: e1 , e2 , … en. 线性空间V中线性无关向量的最大数目，称为V的维数

■内积空间:定义了内积的线性空间 内积:设V是数域K上的一个线性空间,V1和V2是V中任意两个 向量,映射甲将V1和v2映射为一个数,即ψ(V1,v2)=(v1|V2)∈K, 且满足下列条件 2 3)+(v2/V 3 Vav alv 2 2 当V1≠O时,(V1|V1)>0, 则数(V1v2)称为向量v1和v2的内积 长度:向量v的长度定义为|v|=(v1|V1)2 正交:如果(v1|v2)=0,则称向量v1和v2正交。 正交归一基:如果内积空间的一组基向量(e1,e2,en)满足 ell)=6;,则称为正交归一基

■ 内积空间: 定义了内积的线性空间. 内积: 设V是数域K上的一个线性空间, v1和v2是V中任意两个 向量, 映射ψ将v1和v2映射为一个数, 即ψ(v1 ,v2 )=(v1|v2 )∈K, 且满足下列条件 (v1+v2| v3 )= (v1| v3 ) + (v2| v3 ) (v1|av2 )= a(v1| v2 ) (v1| v2 )= (v2| v1 )* 当v10时, (v1| v1 )>0, 则数(v1|v2 )称为向量 v1和v2 的内积. 长度：向量v的长度定义为|v|= (v1| v1 ) 1/2 正交：如果(v1| v2 )=0，则称向量v1和v2正交。 正交归一基：如果内积空间的一组基向量（e1 ,e2 ,…en )满足 (ei|ej )=δij ,则称为正交归一基

■线性变换:设V是定义在数域K上的一个线性空间,线性变换 A是将V映入V的线性映射,即对于任意v1,V2∈V,a∈K,有 A(v1)∈V Alav, +v=aA(v+alvo) 则称映射A为线性空间V上的一个线性变换 如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换,记作A-1 ■幺正变换:设U是内积空间V上的线性变换,即对于V中任意 向量v1,V2∈V,U保持V1和v2的内积不变,即 (Uv1|Uv2)=(v1|V2) 则称U是V上的幺正变换 共轭变换:A,A是内积空间V上的线性变换,如果对任意v1,V2∈V,满足 (Av1|v2)=(v1|Atv2),则称A,A互为共轭变换 幺正变换U满足UU=UU=E,E为恒等变换

■ 线性变换: 设V是定义在数域K上的一个线性空间, 线性变换 A是将V映入V的线性映射, 即对于任意v1 , v2∈V, a∈K, 有 A(v1 )V A(av1+v2 )= aA(v1 )+A(v2 ) 则称映射A为线性空间V上的一个线性变换. 如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换, 记作A－1. ■ 幺正变换: 设U是内积空间V上的线性变换, 即对于V中任意 向量v1 , v2∈V, U保持v1和v2的内积不变, 即 (Uv1|Uv2 )=(v1|v2 ) 则称U是V上的幺正变换. 共轭变换: A, A†是内积空间V上的线性变换, 如果对任意 v1 , v2∈V, 满足 (A v1|v2 )=(v1|A†v2 ), 则称A, A†互为共轭变换. 幺正变换U满足 UU† = U†U=E, E为恒等变换

线性空间的子空间 在n维线性空间V中任取m(m≤n)个线性无关的向 量V1,V2,…Vm∈V,由这m个向量作为基向量,可以 生成一个m维线性空间V1,称为V的一个子空间 线性空间的直和 设Ⅴ1和V2是线性空间V的两个子空间,如果V中的任 意一个向量v∈V都可以唯一地表示为V1和V2中向量 之和,即对于任意v∈V,能够找到v1∈Ⅵ1,v2∈V2,V可 唯一地表示为v=v1+v2则称线性空间V是其子空间 V1和V2的直和,记作V=V1V2

在 n 维线性空间V中任取 m (mn) 个线性无关的向 量 v1 , v2 , …vmV, 由这m个向量作为基向量, 可以 生成一个m维线性空间V1 , 称为V的一个子空间. 线性空间的子空间: 线性空间的直和: 设V1和V2是线性空间V的两个子空间, 如果V中的任 意一个向量 vV 都可以唯一地表示为V1和V2中向量 之和, 即对于任意vV, 能够找到v1V1 , v2V2 , v可 唯一地表示为 v=v1+v2 . 则称线性空间V是其子空间 V1和V2的直和, 记作 V=V1⊕V2