笫2章数值泛函概要 (1)p(x,y)≥0,当且仅当x=y时等号成立; (非负性) (2)p(x,y)=p(y,x) (对称性) (3)对R中任意元素x,y,z,有 p(x,2)≤p(x,y)+p(y,2) (三角不等式) 则称(x,y)为x与y间的距离,称R为距离空间,记为(R,p),有时也简记为R。距离空 间中的元素也称为“点 根据定义,在距离空间R中,任意两点之间都有一个确定的距离,它包含了通常意义 下的距离概念,但又要比通常意义的距离概念更广泛,它是欧氏空间中通常距离概念的抽 象和推广。 例 例21设R为非空实数集,对其中任意两实数x和y,定义距离 P(I, y)= 显然满足距离公理(1),即为通常意义下的距离,常称为欧氏距离。于是R按式(2.1)构成 距离空间 另外,还可在R中用另一种方式来定义距离 1(x,y)= +|x (2.2) 式(2,2)满足距离公理(1)、(2)是显然的。现在来验证它满足三角不等式。 由于当t≥0时,g(t)=t(1+t)为单调增函数,因此有 z 1+|x-x|1+|x-y+y 1+ y-2 p(r,y)+ p(y, z) 例2.2设R”为n维实向量全体所构成的空间,在其中可定义距离如下: 设x=(x1,x2,…,xn),y=(y,y2,…,y)为R”中任意两元素,则 p(x,y)=(∑(x1-y)2)2 可以证明,它满足距离公理。当n=2时,则由式(2.3)定义的距离即为平面上两点间的通常 距离 同样,在R中也可以定义另一种距离 (2.4) 由上可见,在同一个集合中,可以用不同的方式定义不同的距离,得到不同的距离空 间。如不作声明,在R中我们用式(2.1)规定的距离,在R”中用式(2.3)规定的距离,称 为欧氏距离。 例2.3用Ct4表示定义在[a,b]上所有连续函数的全体,对于任意 x(t),y(t)∈ C,,可定义距离
數值泛函与小波理论 P(a, y)=max x(t)-y(t) 例2.4L,表示[a,b上平方可积函数的全体,即对任意的x(t)∈l,都有 lx(t)|dt<+∞ 则可在L的中定义距离:对任意x(t),y()∈L.,有 (x,9()=(∫x)-yo)ud 例252表示满足∑{x|2<+∞的实数列的全体,则其中任意两点 x=(x1,x2…),y=(y,y2,…) 间的距离可定义如下: p(x,y)=(∑|x-y,|2)2 (2.7) 从上面例子可以看出,我们可以在两向量间、两函数间、两数列间以及任意两个元素 间引进距离,它们要比通常意义的几何距离的含义更广泛。 2.1.2收敛概念 极限是一切分析理论的基础。极限理论的基本点是收敛序列只能有一个极限。对于简 单的直线和平面的情况,从通常的距离概念出发,这是很明显的事实,但在一般距离空间 中就不那么显然、明白了。要在距离空间中建立相应的极限理论,就要从一般的距离公理 出发建立收敛概念。 距离公理是从通常的距离概念中抽象出本质特性并加以一般化而形成的。实数(距离 用实数来定义的)的性质以及距离公理的作用使我们并不困难地在距离空间中建立起收 敛的概念及以后的一系列理论。仔细考察一下经典分析中的许多定理的证明,实际上也仅 仅用到了一般的距离公理,而并不需要通常几何中有关距离的全部性质。 下面,我们就在一般距离空间中来建立有关收敛的概念和理论 1.收敛点列 1)定义 定义2.2设R为距离空间,xn(n=1,2,…)为R中点列,x∈R,如果当n→∞时,数 列0(xnx)→0,则称点列xn按距离p(x,y)收敛于x,记为 或 此时,称x为收敛点列,称x为xn的极限。 从定义2.2中可以看出,在距离空间中,一般点列的收敛是通过距离的数列的收敛来 定义的,而数列的收敛概念及性质等是我们在数学分析中早就熟悉了的。因此,不难得出 般距离空间中有关收敛点列的一些基本性质
笫2章数值泛涵概要 质 定理21在距离空间中,收敛点列的极限是惟一的。 证明设x,y都是x,的极限,则根据定义及数列收敛的性质,应有对任意的E>0, 存在N,当n>N时 由三角不等式可得 p(r, y)<p(x,In)+p(xm, y)<2e 由的任意性,可知p(x,y)=0,即x=y。惟一性得证 证毕 定理22在距离空间中,距离P(x,y)是两个变元x,y的连续函数。即在距离空间 时 p(xn,y)→p(x,y) (2,9) 证明根据数列收敛的性质,要证明式(29),即要证得 lP(x,,y, )-p(xo, y)1-0 考虑三角不等式 p(xm,,)s P(,,To)+p(xv, y,) p( o,yo)+ p(yo, y,) p(xn,y,)-p(xo,yo)<p(rn, xo)+p(yn, y, (2.10) 又 p(To, yo)sp(zo,I, )+p(x,ys) sp(o,En)+p(n,)+p(y,, yo) P(x0,yn)-p(x…yn)≤(xn,x0)+p(yn,y) (2,11) 由式(2.10)与式(2.11)即可得 ,p(o, yo)) sp(rn,xo)+p(y,, yo) 令 即得 p(x,y2)-m(xo,y0)1→0 证毕 定理23设xn为距离空间R中的收敛点列,则xn必有界。即存在x∈R,有限数 >0,使对所有的x∈xn,都有 p(x,x0)< 证明事实上,因xn为收敛点列,不妨设它的极限点为x0,则取E=1,存在自然数 当n>N时有 P(R, o)<1 取 p(x0,xN)}+1 即可使对所有的x∈xn,式(2.12)成立 证毕
数值泛函与小波理论 2. Cauchy点列 设xn为距离空间R中的收敛点列,则存在x∈R,使 (2.13) 因为 所以,当m,n→∞时有 Pc 即由式(213)可以推出式(214),而在一般距离空间中却不能由式(2,14)反推出式 (2.13)。 在实数理论中 与 7,n 是相当的。而在一般距离空间中,式(2.13)与式(2.14)并不相当。我们把使式(2.14)成立 的点列称为 Cauchy点列,或称基本点列 于是,在实数空间中,按通常的欧氏距离,收敛点列与 Cauchy点列相当。在一般距离 空间中,则收敛点列必为 Cauchy点列,而 Cauchy点列不一定是收敏点列。 如有理数点列 1,1.4,1.41,1.414,1.4142, (2.15) 在有理数空间中,只是一个 Cauchy点列而不是收敛点列,因它在有理数空间中没有极限 有理数点列(215)的极限是无理数√2,只有在有理数空间加进无理数,扩充成为实数空 间后,点列(2.15)才成为收敛点列。因为任何…个无理数,都可以找到一个有理数点列以 它为极限,所以有理数空间好像到处布满了空隙,将这些空隙(无理数)都补进来,就可使 所有的 Cauchy点列都有极限点,也就都成了收敛点列 又如在Pta,(定义在[ab]上的实系数多项式的全体)中,有的多项式列P(t)满足式 (2.14)而在P中没有极限,因而它们在Pa中只是 Cauchy点列,而不是收敛点列。实 际上,它们收敛于Pta,以外的连续函数。如果我们把这些连续函数都补充进来,即将 Pb扩充为C,,则所有的 Cauchy点列按距离式(25)都成了收敛的多项式列。 正因为在一般距离空间中,收敛点列与 Cauchy点列不相当,于是才引出了距离空间 的完备性问题。 2.L3距离空间的完备性 前面我们建立了距离空同中的收敛概念,并且从收敛、极限的角度说明了一般距离空 间与实数空间(距离空间的特例)的差别。在实数空间中存在定理:收敛点列与 Cauchy点 列等价。也就是说,任何一个实数的 Cauchy点列必有实数的极限。我们把实数的这种特性 称为完备性。这种实数的完备性给实数带来了很多好的性质,使人们得以在此基础上建立
第2章数值泛函概要 了一系列的极限理论。一般的距离空间(如有理数空间)就没有这种性质(有理数的 Cauchy 点列不一定有有理数的极限)。这种不同决定了它们之间有很多本质上的差异,也即一般 的距离空间不具有完备性。 1.定义和例 定义2.3在距离空间R中,若任一 Cauchy点列都在R中有极限,则称距离空间R 是完备的。 于是和实数空间一样,在完备的距离空间中,收敛点列与 Cauchy点列是等价的。 因为在距离空间中,收敛是用距离来定义的,而前面曾讨论过,在同一个集合中可以 定义不同的距离,因此,同一个集合可以对一种距离成为完备的距离空间,而对另一种距 离却成为不完备的距离空间。 按前面的规定,未作声明时,实数空间R中的距离是按式(21)定义的距离。它的完 备性也是指按式(2.1)的距离完备 又如C,按通常的距离 p(r, y)=max |r(t)-y(t) 则距离空间R为完备空间 事实上,因C中的任一 Cauchy点列xn(t)满足 P( d,n)=max|xrn(t)-xn(t)→0m,n→∞ 故对一切t∈[a,b],必有 (t)-xn(t)|→0 而根据数学分析中的定理可知,有z(t)∈Ca,6,使 x,(t)-x(t)|→0 对t∈[a,b都成立,故有 p(xn,x)→0 即Cta对距离式(2.5)完备。通常不作说明时,C,中的距离都是指距离式(2.5)而言的。 特别地,若在Cta,中定义距离 1(x,y) r(t)-y(t)12da 则它是一个不完备的距离空间 R"按通常的欧氏距离 yE 是完备的。按这种距离的收敛又称按坐标收敛 我们在21.2节中所举距离空间的例子,按那里规定的距离都是完备的距离空间。 如前所述,有理数空间是不完备的典型例子。 2.距离空间的完备化 距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。如在证明解的存在性、惟一性以及 近似解的收敛性等方面都要用到完备性。前面讲到对于不完备的有理数空间,可以通过补