6.1对称性 紧攴正交尺度函数值与小波函数值的计算 第7章小波变换… 7.1小波级数变换与 Mallat算法…… 7.2DwT与IDWT 7.3小波级数与 Fourier级数 7,4连续小波变换… 第8章小波函数的进一步分析 123 8.1双正交小波基…… 82小波包 8.3区间小波 8.4高维小波…… 138 第9章多重小波……………… ……1141 9.1多元多分辨分析MRA和矩阵加细方程MRE …141 9.2多小波的分解重构公式与多小波的例子 146 9.3多小波基的数学特性…… 147 第10章小波分析的应用 157 10.1小波阈值去噪方法及改进… 10.2多小波在图像处理中的应用… 中,丰丰来1 164 10.3积分方程的多小波矩阵方法 170 10.4区间样条小波配点法 参考文献…
第1章绪 第1章绪论 1.1 小波分析是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域,是继 Fourier分析之后的 个突破性进展,它给许多相关领域带来了崭新的思想,提供了强有力的工具,在科技界引 起了广泛的关注和高度的重视。它既包含有丰富的数学理论,又是工程应用中强有力的方 法和工具。小波分析的发展推动着许多其它学科和领域的发展,使得其本身具有了多学科 相互结合、相互渗透的特点。探讨小波的新理论、新方法以及新应用已成为当前数学界和 工程界一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。 所谓小波分析,从数学角度看,它属于调和分析范畴,从事计算数学的工作者把它看 做是一种近似计算的方法,用于把某一函数在特定空间内按照小波基展开和逼近;从工程 角度看,小波分析是一种信号与信息处理的工具,是继 Fourier分析之后的又一有效的时频 分析方法。小波变换作为一种新的多分辨分析方法,可同时进行时域和频域分析,具有时 频局部化和多分辨特性,因此特别适合于处理非平稳信号。 小波分析是当前数学领域中一个迅猛发展的新方向,是由 Fourier分析发展起来的 种新的数学方法,同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。在小波分析中,利用小波基 取代传统的三角函数基,对函数进行分析和研究。由于小波基是由一个小波函数女(x) (y(x)充分光滑、快速衰减、具有振动、状如小波)经过平移和伸缩得到的,因此具有简单 灵活、随意的特性,又具有多分辨分析的功能。它为诸多应用领域提供了一种新的更为优 越、更为方便的分析工具 与 Fourier分析类似,小波分析中也存在积分小波变换、小波级数和离散小波变换。与 Fourier变换相比,小波分析是一个时间和频率的局域变换,因而能有效地从信号中提取信 息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 Multiscale Analysis), 解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题。两者的本质区别在于: Fourier分析只是考 虑时域和频域之间的一对一映射,它以单个变量时间或频率)的函数表示信号;小波分析 则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号,从根本上克服了 Fourier分析只能以单个变 量描述信号的缺点。小波分析与时频分析的区别在于:时频分析在时频平面上表示非平稳 信号;小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上,但不是在时频平面上,而是在所谓 的时间一尺度平面上。在小波分析中,人们以不同的尺度(或分辨率)来观察信号。信号分
数值泛函与小波理论 析的这种多尺度(或多分辨率)的观点是小波分析的基本点。 2小波发展回顾 小波的起源可以追溯到20世纪初。1910年,Har提出了规范正交小波基的思想,构 造了紧支撑的正交函数系—Har函数系。1936年, Littlewood和Paey对 Fourier级数建 立了二进制频率分量分组理论,构造了一组 Littlewood-Paley基,这为小波在后来的发展奠 定了理论基础。1946年, Gabor提出了加窗 Fourier变换( Gabor变换)理论,使得对信号的 表示具有时频局部化性质。人们真正研究小波是在80年代。1982年,Str6 mber构造了 组具有指数衰减且有限次连续导数的小波基。1984年, Grossman和 Morlet首次提出了小 波( wavelet)的概念,给出了按一个确定函数ψ的伸缩平移系展开函数的新方法和进行信号 表示的新思想。随后, Meyer证明了维小波的存在性,并构造了具有一定衰减性质的光 滑小波函数。1986年,Malt和 Meyer提出了多分辨分析的理论框架,为小波基的构造提 供了一般的途径。多分辨分析的思想是小波的核心,它是理论与应用的结晶。至此,小波 分析才真正形成为一门学科。之后,人们构造出了大量的小波,其中包括具有指数衰减的 Battle-Lemarie小波和第一个双正交小波— Tchamitchian小波等,比较引人注目的是 Daubechies于1988年构造的类具有紧支集的有限光滑正交小波函数,该小波得到了非 常广泛的应用。1989年,随着小波理论的进一步发展, Mallat提出了实现小波变换的快速 算法— Mallat塔式算法,它的地位相当于 Fourier变换中的FFT。1990年,崔锦泰和王 建忠构造了基于样条的双正交小波函数,并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波 函数。与此同时, Wickerhauser和 Coifman等人通过对母小波函数进行伸缩、平移和调制 运算,提出了小波包的概念,并将Mlat算法进一步深化,得到了小波包算法。 1.3当前小波应用研究工作的几个主要方面 在小波理论发展的同时,小波应用的研究工作也在不断地开展,主要集中在以下几个 方面 (1)小波在数学其它分支中的应用,如求微分方程、积分方程,函数逼近,分形、混沌 问题,概率小波,非线性分析等等。1988年, Arneodo和 Grasseau把小波理论运用于混沌 动力学及分形理论以研究湍流及分形生成现象;1990年, Belkin和 Coifman把小波用于 算子理论;1991年, Jaffard与 Laurent把小波变换运用于偏微分方程的数值解。 (2)小波在信号处理中的应用,包括信号检测、目标识别以及去噪等,比如话音信号 雷达信号、医学信号、天文信号、地震信号、机械故障信号等等。 (3)小波在图像处理中的应用,其中包括图像数据压缩、去噪,数字水印,指纹鉴别, 模式识别等
第1章绪 (4)小波在通信中的应用,如在CDMA、自适应均衡、扩频通信和分形调制等方面的 应用。 小波应用之广泛,让许多科学家和工程研究人员感到惊诧。近年来有许多重要的国内 外期刊经常报道有关小波应用的动态、最新研究成果。代表性的刊物有 IEEE Trans.on Signal Processing, IEEE Trans. on Image Processing, Applied and Computational harmonic Analysis, Journal of Fourier Analysis, SIAM Journal of Mathematics Analy sis,还有国内的 《电子学报》、《电子与信息学报》和《信号处理》等。另外,国际互联网上的小波资料也非常 丰富,报道最新的小波文献、国际会议、电子文摘以及各著名大学和科研机构的小波研究 组及其主要成果。比较著名的网站有:htp://www.wavelet.org/,它是Sweldens主持的 网上免费杂志,能提供有关小波研究最全面和最新的信息,并可链接到其它小波站点; htte:/w.stat. stanford.edu/~ wavelab提供了 Matlab的工具箱 wavelab;htp:/ww cmap.polytechnique.fr/users/www.bacry/提供有关小波和信号处理的C源程序;另外还 有htp;/w.cm,. bell-labs. com/,htp://w,math,mi.edu/以及htp:/peca math,yale,edu/pub/ wavelets/,它们不断报道贝尔实验室、麻省理工学院、耶鲁大学在小 波方面的研究进展
数值泛函与小波理论 第章数值泛函概要 数学家们认为,电子计算机的出现和泛函分析在数值分析领域中的应用,使数值分析 发生了革命性的变化。前者是计算工具,后者是理论基础。 由于泛函分析吸取了各个数学分支中最基本的精华,具有高度的抽象性、系统性和普 遍性,因此它的观点、方法和规律可以广泛地应用于各个学科。近代科学的发展趋势是各 种学科的互相渗透,互相交叉,“你中有我,我中有你”,界线模糊,边缘面宽。泛函分析作 为一门高度抽象的数学理论,为各种学科提供了一般的数学规律和共同的框架,已成为各 个学科的重要工具。对数值分析而言,泛函分析与数值分析的关系更为密切。运用泛函分 析的观点与语言可使数值分析中很多定理与方法的推导变得简洁、直观,并使所得结论更 加普遍。泛函分析是一种“软分析”,它把各方面的知识结合在一起,找出共性和简单性, 大多用综合性的文字证明,而略去那些具体的、烦琐的推导和计算,并尽可能采用形象化 的思维和语言。整个泛函分析都是用“空间”来表达的,这使得很多经典的理论具有简单明 了的几何直观。但是,数学家们普遍认为泛函分析中极其重要的定理在数值分析中却并不 定都有用。因此,我们在本书中选择的内容主要是与数值分析关系比较密切的基本理论 和定理。如三大空间的基本概念、理论以及与数值分析直接相关的投影、逼近等内容。我 们把它称为数值泛函 首先在集合的基础上定义出三大空间,由空间到空间的映射定义出算子、泛函,由内 积定义出投影,由投影引出函数空间的各种数值逼近及现代数值分析的总框架。小波分析 作为近20年发展起来的一种新的数值分析方法,它与其它的数值分析有着共同的泛函背 景和框架。我们选择了本章的内容作为小波分析的数学基础,以使初学小波的读者在学习 过程中能自成系统,不必去寻找更多的其它资料 2.1距离空间 2.1.1定义和例 1.定义 定义21设尺表示一个非空集合,若其中任意两元素x,y,都按一定的规则与一个 实数p(x,y)相对应,且p(x,y)满足以下三公理(称为距离公理):