沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.5 函数的微分

定理：函数=f(x）在x。可微的充要条件是y=f(x)在点x处可导,且A=f'(x)，即可导可微dy = f'(x,)Ax可微一可导”证：“必要性：已知y=f(x)在点xo可微，即Ay = A△x + o(Ax)Ayo(△x)lim (A +limAAx-→>0 △x△xAr→0故 y=f(x)在点 xo的可导，且f(x)= A

已知 y  f (x) 在点 x0可微 , 即 ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x             A. 故 ( ) . f  x0  A y  A x  o(x). y  f (x) 在点 的可导, 0 x 且 定理: 函数 y  f (x) y  f (x) 在点 x0 处可导， ( ) , 0 且 A  f  x 即 dy  f (x0 )x 可微 可导 在 0 x 可微的充要条件是 证: “必要性: 可微 可导”

“充分性：可导>可微”。已知 y= f(x)在点 xo的可导,则limg(x)= BAylimf'(x)Ax=0 △x←g(x)=B+α (limα=0)Ay= f'(x)+α (lim α=0)△xAr-→0故 Ay= f'(x)Ax+αx = f'(xo)Ax+o(Ax)线性主部即dy = f'(xo)△x

已知 lim ( ) 0 0 f x x y x       y  f (x)       ( ) x0 f x y ( lim 0 ) 0     x  y  f (x ) x  x 故 0 ( ) ( ) 0  f  x  x  o  x  线 性 主 部 即 d ( ) . 0 y  f  x  x 在点 x0的可导, 则 ( ) (lim 0) lim ( )      g x B   g x B “充分性 : 可导 可微 ”

例1.求函数=x在x=1和例2.求函数y=x2当x=2,x=3处的微分。△x=0.02时的微分解： ： dy=f'(xo)Ar解: ： dy= f'(xo)Ar(x)= 2x(x3) = 3x2,：函数=x在x=1处的2dy=3x △x微分为x=2x=2Axr=0.02△x=0.02dy =(x)△x = 2△x;= 0.24.在x=3处的微分为dy = (x2)lAx = 6△r.x=3

例1.3 . 1 2 处的微分 求函数 在 和    x y x x 解: ∵ dy  f (x )x 0 ∴ 微分为 函数 在 1处的 2 y  x x  y x x x    1 2 d ( )  2x; 在 x = 3处的微分为 y x x x     3 2 d ( )  6x. (x ) 2x 2   例2. 解: 0.02 . 2, 3 时的微分 求函数 当     x y x x  dy  f (x0 )x ( ) 3 , 3 2 x   x 0.02 2 2 0.02 2 d 3          x x x x y x x  0.24

函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分记作dy或df(x)，即dy = f'(x)△x.通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分。记作dx，即dx = △x. 所以dydy = f'(x)dx. f'(x)dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数．导数也叫"微商

d d ( ), ( ) , , 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的微分 y f x y  f x x dy  f (x)x. d , d . , x x x x x    记作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy  f (x)dx. ( ). d d f x x y   . " " . d d 该函数的导数 导数也叫 微商 即函数的微分 y与自变量的微分 x之商等于 所以