2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心2006年全国硕士研究生入学考试数学（三）答案解析与点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心清华大学数学科学系刘坤林谭泽光俞正光葛余博1.06年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主，注意考察基础知识的理解与简单综合运用。除概率统计比05年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为55-62%，平均分数为80-83分；而前几年为38-45%，平均分数只有60-63分。2.各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对07年考生的重要参考。3.06年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在06年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题自仅仅有文学和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。在面向07年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造他们人生的U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。一填空题（每小题4分，共24分）lim("l)-" =1(1)nn-→00n+1【解析与点评】应注意：本题并非lim）"的形式，考点为初等函数性质与极限运算。nn+1(-1)令u=,n=1,2,3,...n2k12k-11则当n=2k-1时，u,=（=12k-12k2kn+11=1+!.2k+)=1+则当n=2k时，u，=2k2kh(n+l)(-1)" =1。故lim(N可参见水木艾迪2006考研数学基础班讲义例1.17，例1.32，强化班例18等题目。（第一课第1章）(2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导,且f(x)=ef(),f(2)=1则"(2)=2e【解析与点评】由题设f(x)在x=2的某邻域内可导以及f(x)=ef(n)，可知f(x)也在x=2的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数f(x)二阶可导，且1培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 1 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 2006 年全国硕士研究生入学考试数学（三） 答案解析与点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 清华大学数学科学系 刘坤林 谭泽光 俞正光 葛余博 1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合 运用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度 系数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。 2． 各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别 是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是 数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。 3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准 确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与 训练，使更大面积的考生最大限度受益。 就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试 中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量 题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是 水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。 在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进 一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生 朋友，为打造他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。 一 填空题（每小题 4 分，共 24 分） (1) = + − →∞ n n n n ( 1) ) 1 lim( 1 【解析与点评】应注意：本题并非 n n n n ) 1 lim( + →∞ 的形式，考点为初等函数性质与极限运算。 令 ) , 1,2,3, , 1 ( ( 1) = . + = − n n n u n n 则当 n = 2k −1时， = − = − = − k k k k un 2 2 1 ) 2 1 2 ( 1 1 1 1 2 1 1 + − = − k n ， 则当 n = 2k 时， k k n k un 1 1 2 1 ) 1 2 2 ` ( 1 = + = + + = ， 故 = + − →∞ n n n n ( 1) ) 1 lim( 1。 可参见水木艾迪 2006 考研数学基础班讲义例 1.17，例 1.32，强化班例 18 等题目。（第一 课第 1 章） (2) 设函数 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 ( ) ( ) f x f ′ x = e , f (2) = 1则 (2) 2 . 3 f ′′′ = e 【解析与点评】由题设 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导以及 ( ) ( ) f x f ′ x = e ，可知 f ′(x) 也在 x = 2 的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 二阶可导，且
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心f"(x) =[ef()' = f'(x)ef(x) =e2f() 。利用上式可知f"(x）也在x=2的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数f(x）三阶可导,且f"(x)=[e2()]'=2f(x)e2/() =2e3f(x)。将f(2)=1代入即得f"(2)=2e3参见水木艾迪2006考研数学36计例4-6，4-7。百分训练营模拟试题数二第3题，（36技之4-6)，则z=f(4x2-y2）在点（1,2）处的全微分(3)设函数f(u)可微,且f(O)=2d=la.2) = 4dx -2dy 。【解析与点评】该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得dz = f'(u)du= f'(4x2 - y).d(4x? - y2)= f'(4x2-y)-(8xdx-2ydy)= 2 f(4x2 - y°) (4xdx- ydy)于是 dzla,2)=2f(0)(4dx-2dy)= 4dx-2dy可参见水木艾迪2006考研数学36计例15-5等题（？）21E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B（4）设矩阵A=-1 2)答案B=2。【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等.这是比较简单的一道题，只要掌握水木艾迪春季班和冲刺班关于矩阵运算，矩阵方程，以及行列式计算等内容及相应的例题，就很容易做这道题了。[解】由BA=B+2E，得B(A-E)=2E,两边取行列式,得BA-E=2E=4=2，因此B=2.叉A-H1 1(5）设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则【答案】P(max(X,Y)≤1)=2培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 2 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ] ( ) f x f x f x f ′′ x = e ′ = f ′ x e = e 。 利用上式可知 f ′′(x) 也在 x = 2 的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 三阶可 导，且 ′′′( ) = [ ]′ = 2 f ( x) f x e 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 f x f x f ′ x e = e 。 将 f (2) = 1代入即得 (2) 2 . 3 f ′′′ = e 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 4-6，4-7。百分训练营模拟试题数二第 3 题，（36 技之 4-6） (3) 设函数 f (u) 可 微 , 且 2 1 f ′(0) = , 则 (4 ) 2 2 z = f x − y 在 点 (1,2) 处的全微分 dz 4dx 2dy (1,2) = − 。 【解析与点评】该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得 ( ) (4 ) (4 ) 2 2 2 2 dz = f ′ u du = f ′ x − y ⋅ d x − y (4 ) (8 2 ) 2 2 = f ′ x − y ⋅ xdx − ydy 2 (4 ) (4 ) 2 2 = f ′ x − y ⋅ xdx − ydy 于是 dz 2 f (0)(4dx 2dy) 4dx 2dy (1,2) = ′ − = − . 可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 15-5 等题（？） （4）设矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 2 1 A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BAB E = + 2 ，则 B = ． 答案 B = 2 。 【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等．这是比较简 单的一道题，只要掌握水木艾迪春季班和冲刺班关于矩阵运算，矩阵方程，以及行列式计算 等内容及相应的例题，就很容易做这道题了。 [解] 由 BA = B + 2E ，得 B(A − E) = 2E ,两边取行列式,得 B A − E = 2E = 4 又 2 1 1 1 1 = − A − E = ，因此 B = 2 ． (5) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且均服从区间 [0,3] 上的均匀分布 , 则 P XY {max , 1 _ ( ) ≤ =} 【答案】 9 1
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心111【解析与点评】 P(max(X,Y)≤1)=P(X≤1,Y≤I)=P(X≤1)P(Y≤I)=3*3"9考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数是要求热练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合，是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如36计（冲刺班）的$1.5.2强调求最值函数分布方法和技巧，连续型见例1.5.13，离散型见例1.5.8和1.5.11，强化班对应为的S3.3.2和例3.3.13，离散型见例3.3.9和3.3.10，均匀分布概率计算则分别见冲刺班例1.2.2、例1.4.6及强化班例1.3.7、例3.1.7.-(x+),,为总体的简单随机(6）设总体×的概率密度为f(x)=亏e样本，其样本方差S2，则ES?=【答案】2【解析与点评】样本方差S是总体X的方差。（只要存在）的无偏矩估计量，即ES2=。由于X的概率密度的对称性，EX=0，故0?=DX=Ex?- jx*fx(x)dx=2jx2×ee-dx=[x"e-"dx02000最后积分可视为参数入=1的指数分布的二阶矩，它等于方差与期望平方的和，因此ES=1+1=+元-=2。最后积分直接作分部积分计算也容易得到。考点：矩估计的基本结论：只要总体的方差（或者二阶矩）存在，则样本方差S2是总体X的方差的无偏估计量；方差的计算及指数分布的方差公式。本题如果将样本方差写为(=-X?-n2)利用期望的线性性质，虽然也可以算出（水木艾迪辅导班有多个例题讲E(X)，ES?及DS?的计算)，但要麻烦得多，也容易出错。矩估计的几个基本结论，是水木艾迪冲刺班和强化班突出的复习要点，冲刺班见S2.2.3之2)，强化班见S6.2.3之2)。像指数分布这样重要分布，当然是应该相当熟悉和熟练掌握的。能够发现/X有指数分布，可帮助您迅速得到正确的结果。强化班的S4.1.3和冲刺班“计3概率模型与重要分布的关系与综合”有很好的讨论。二选择题（每小题4分，共32分）(7）设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f"(x)>0，△x为自变量x在x。处的J【A】增量，Ay与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量与微分，若△r>0，则(A) 0<dy<Ay(B)0<Ay<dy(C) Ay<dy<0(D)dy<Ay<03培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 3 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 【解析与点评】 9 1 3 1 3 1 P(max{X ,Y} ≤1) = P(X ≤1, Y ≤1) = P(X ≤1)P(Y ≤1) = × = 考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数 是要求熟练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合， 是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如 36 计（冲刺班）的§1.5.2 强调求最值函数分 布方法和技巧，连续型见例 1.5.13，离散型见例 1.5.8 和 1.5.11，强化班对应为的§3.3.2 和例 3.3.13，离散型见例 3.3.9 和 3.3.10, 均匀分布概率计算则分别见冲刺班例 1.2.2、例 1.4.6 及 强化班例 1.3.7、例 3.1.7. (6) 设总体 X 的概率密度为 ( ) ( ) 1 2 1 , , ,. 2 x n f x e x xx x − = −∞ < < +∞ 为总体的简单随机 样本, 其样本方差 2 S , 则 E 2 S =_【答案】2 【解析与点评】样本方差 2 S 是总体 X 的方差 2 σ （只要存在）的无偏矩估计量，即 E 2 S = 2 σ 。 由于 X 的概率密度的对称性，EX=0, 故 2 σ =DX= EX 2 = ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − ∞ −∞ = × = 0 2 0 2 2 2 1 x f (x)dx 2 x e dx x e dx x x X 最后积分可视为参数λ =1 的指数分布的二阶矩，它等于方差与期望平方的和，因此 E 2 S = 2 1 1 1 2 = + === λ λ λ 。 最后积分直接作分部积分计算也容易得到。 考点：矩估计的基本结论：只要总体的方差（或者二阶矩）存在，则样本方差 2 S 是总 体 X 的方差的无偏估计量；方差的计算及指数分布的方差公式。本题如果将样本方差写为 ( ) 2 1 2 2 1 1 X nX n S n i i − − = ∑ = 利用期望的线性性质，虽然也可以算出（水木艾迪辅导班有多个 例题讲 2 2 2 E(X ) ，ES 及DS 的计算），但要麻烦得多，也容易出错。矩估计的几个基本结论， 是水木艾迪冲刺班和强化班突出的复习要点， 冲刺班见§2.2.3 之 2），强化班见§6.2.3 之 2）。 像指数分布这样重要分布，当然是应该相当熟悉和熟练掌握的。能够发现|X|有指数分 布，可帮助您迅速得到正确的结果。强化班的§4.1.3 和冲刺班“计 3 概率模型与重要分布的 关系与综合”有很好的讨论。 二 选择题（每小题 4 分，共 32 分） （7）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0, ∆x 为自变量 x 在 0 x 处的 增量， ∆y 与 dy 分别为 f (x) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 ∆x > 0 ，则 【 A 】 （A）0 < dy < ∆y （B）0 < ∆y < dy （C） ∆y < dy < 0 （D） dy < ∆y < 0
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心【解析与点评】因为f(x)>0.则f(x)严格单调增加。f"(x)>0,则f(x)是凹的，又△x>0，故0<dy<△y。(8) 设函数 (n)在x=0处连续,且lim()==1则【c】h?30(A)F(O)=0且f"(O)存在。(B)f(0)=1且f(0)存在(C)f(O)=0且 f(0)存在。(D)f(0)=1且(0)存在f(h2)= limf(x)=1.【解析与点评】令x=h2，可得limh?-0x-0*xf(x)于是limf(x)=limx=1.0=0= f(0)xf(x)f(x)- f(0) = fi(0) =1.= lim进一步有limx-0x-0xx0应选C。出自水木艾迪2006考研数学冲刺班36计例4-8，例4-9，基础班例3.4，强化班第2讲例14。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第5章综例5.3.2，例5.3.3。（36技之4-8）(9)若级数α，收敛，则级数【d】h=1(B)(A)收敛Z(-1)"a,收敛.。n=l2t收效.(C)(D)Za,an收敛.。2=n=l【解析与点评】【解法1】直接感觉法：首先a也收敛，运用运算法则可知(D)收敛。n=l1【解法2] 反例排它法：取反例α,=(-1)"可排除(A)(B)(C)。In参见水木艾迪2006考研数学36计例9-2，基础班例8.15，，强化班第6讲例5，例9等题目。（36技之9-2）(10)设非齐次线性微分方程y+Pa)=9(有两个的解y(x),y2(x),C为任意常数,则【B】该方程通解是(A)C[ (x)-y2(x)].(B)y (x)+C[y(x)-y2(x)]。4培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 4 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 【解析与点评】因为 f ′(x) > 0, 则f (x) 严格单调增加。 f ′′(x) > 0, 则f (x) 是凹的，又 ∆x > 0 ，故 0 < dy < ∆y 。 (8) 设函数 f (x) 在 x = 0处连续,且 1 ( ) lim 2 2 0 = → h f h h ,则 【 C 】 (A) f (0) = 0 且 (0) −f ′ 存在。 (B) f (0) = 1且 (0) −f ′ 存在 (C) f (0) = 0 且 (0) +f ′ 存在。 (D) f (0) = 1且 (0) +f ′ 存在 【解析与点评】令 2 x = h ，可得 1 ( ) lim ( ) lim 0 2 2 0 = = → → + x f x h f h h x 。 于是 x x f x f x x x = ⋅ → + → + ( ) lim ( ) lim 0 0 = 1⋅ 0 = 0 = f (0) 进一步有 (0) 1 0 ( ) (0) lim ( ) lim 0 0 = ′ = − − = + → + → + f x f x f x f x x x 。 应选 C。 出自水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计例 4-8，例 4-9，基础班例 3.4, 强化班第 2 讲例 14。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程 微积分上》（刘坤林、谭 泽光编写）第 5 章综例 5.3.2，例 5.3.3。（36 技之 4-8） (9) 若级数∑ ∞ n=1 an 收敛，则级数 【 D 】 （A）∑ ∞ n=1 an 收敛.。 （B）∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n a 收敛.。 （C）∑ ∞ = + 1 1 n an an 收敛.。 （D）∑ ∞ = + + 1 1 n 2 an an 收敛. 【解析与点评】【解法 1】直接感觉法： 首先∑ ∞ = + 1 1 n an 也收敛，运用运算法则可知(D)收敛。 【解法 2】反例排它法：取反例 n a n n 1 = (−1) ，可排除(A)(B)(C)。 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 9-2，基础班例 8.15，,强化班第 6 讲例 5，例 9 等 题目。（36 技之 9-2） (10) 设非齐次线性微分方程 () () x x y Py Q ′ + = 有两个的解 yx y xC 1 2 ( ), , ( ) 为任意常数,则 该方程通解是 【 B 】 (A)Cy x y x ⎡ ⎤ 1 2 () () − ⎣ ⎦ 。 (B) y x Cy x y x 1 12 ( ) + − ⎡ ( ) ( )⎤ ⎣ ⎦
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心(C)C[y (x)+y (x)/。(D)y (x)+C[yi(x)+y2 (x))【解析与点评】该题为考查线性微分方程解的结构知识的基本题。由线性微分方程解的性质可知 yi(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y' + P(x)y=0 的一个非零解，C 是一个任意常数，y(x)是非齐次线性微分方程一个特解，从而由线性方程通解的结构可知y,(x)+C[y,(x)-y2(x)是方程y+P(x)y=Q(x)的通解。故选B。可参见水木艾迪2006考研数学36计例11-7等题（36技之11-7)(1l)设f(x,y)与p(x,y)均为可微函数，且(x,J)0.已知(xo,y）是f(x,y)在约束【D】条件p(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A）若f(xo,y)=0,则f,(xo,y)=0(B）若(xo,)=0,则,(xo,)0(C)若f(xo,y)0,则f,(xo,)=0(D）若f(xo,)0,则f(xy)0【解析与点评】【解法1】构造格朗日函数F=f(x,J)+p(x,y)(x, y)+p, (x,y)=0 (1)(x,y)+ap, (x,y)=0 (2)F, =p(x,y)=0(xo,yo)f, (xo,yo)对（2）由于,（xo,）0，得到=g, (xo,yo)P (xo,yo)从而有J(xo, yo), (xo, o)=f,(xo,o).(xo,o)当f（xo,y)=0时，可推出f，（xo）（xo)=0，而由此推不出：f,(xo,y)±0,或f,(xo,%)=0，因而否定（A），（B)。当，（xy）0时，加上（)0,可推出()（x）0，由此可推出：J,(xo,yo)#0。【解法2】由极值点必要条件得到5培训网：www.tsinghuatutor.com清华创业1005电话：6279603262701055
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：www.tsinghuatutor.com 5 清华创业 1005 电话： 62796032 62701055 (C)Cy x y x ⎡ ⎤ 1 2 () () + ⎣ ⎦ 。 (D) y x Cy x y x 1 12 ( ) + + ⎡ ( ) ( )⎤ ⎣ ⎦ 。 【解析与点评】 该题为考查线性微分方程解的结构知识的基本题。由线性微分方程解的性 质可知 ( ) ( ) 1 2 y x − y x 是齐次线性微分方程 y′ + P(x) y = 0的一个非零解，C 是一个任意常 数 ， ( ) 1 y x 是非齐次线性微分方程一个特解，从而由线性方程通解的结构可知 ( ) [ ( ) ( )] 1 1 2 y x + C y x − y x 是方程 y′ + P(x) y = Q(x) 的通解。故选 B。可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 11-7 等题（36 技之 11-7） (11) 设 f (x, y)与ϕ(x, y) 均为可微函数，且ϕ′(x, y) ≠ 0 . 已知( , ) 0 0 x y 是 f (x, y)在约束 条件ϕ(x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 【 D 】 （A）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y （B）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ = ′ f x y f x y x 则 y . （C）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) = 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y （D）若 ( 0 , 0 ) 0, ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ ≠ ′ f x y f x y x 则 y . 【解析与点评】【解法 1】构造格朗日函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ′ = ′ + ′ =′ = ′ + ′ =′ ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) ( , ) 0 (1) F x y x y y x y y F f x y x x y x f x F y ϕ λϕ λϕ λ 对（2）由于 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ，得到 0 0 0 0 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) y x y f xy f x y x x y xy λ ϕ ϕ ′ ′ =− =− ′ ′ ， 从而有 00 00 00 00 (, ) (, ) (, ) (, ) xy yx f xy xy f xy xy ϕ ϕ ′′ ′′ ⋅=⋅ 当 0 0 (, 0 x f xy ′ ）= 时，可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ = ， 而由此推不出： y 00 y 00 f xy f xy ( , ) 0, ( , ) 0 ′ ′ ≠ = 或 ， 因而否定 （A）,（B）。 当 ( , 0 0 0 ≠ ′ f x x y ） 时，加上 0 0 (, )0 x y y ϕ ′ ≠ ,可推出 00 00 (, ) (, )0 y x f xy xy ϕ ′ ′ ⋅ ≠ ，由此可推 出: y ( 0 , 0 ) ≠ 0 ′ f x y 。 【解法 2】由极值点必要条件得到