考研数学历年真题：1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题和答案解析

(D)中虽有特解，但α，β一β,的线性相关性不能判定，故(A)、(C)、(D)均是不正确的B+β是Ax=b的一个特解，αi，αi-α,是Ax=0 的线性无关的解，是基础解系，故本题选(B).再看(B)，2三、：（本题满分15分，每小题5分。）r In(1+ x)dx(1) 求(2-x)0?z(2）设z=f(2x-y,ysinx)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求axoy（3）求微分方程y+4y+4y=e-2的通解（一般解）（1）【答案】-In2.3【解析】分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来。在做题的时候应该好好总结，积累经验。假定u=u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数，则[u'dx=uw-[u'vdx,[udy= wv- [ vdu或者-dx= -(2 -x)- d(2 - x)= d(由有(2 - x)21dx(in(1+x)d()分部法n(1+原式：2-xJ02--x1+x1--1因为，由分项法2-x1+x1+x2-Y1-)dx所以，原式=ln2-2-x 1+x[-In(2 - x) + 1n(1+ x)]1= =In 2= ln2-2(2）【答案】-2f+(2sinx-ycosx)fi+ysinxcosxf2+cosxf【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求%，，再求（)，如方法1：xOyaxOzao如方法2.也可以先求再求店ax aydy

(D)中虽有特解，但1 ， 1  2 的线性相关性不能判定，故(A)、(C)、(D)均是不正确的. 再看(B)， 1 2 2    是 Ax  b的一个特解，1 ，  1  2 是 Ax  0的线性无关的解，是基础解系，故本题选(B). 三、（本题满分 15 分，每小题 5 分。） （1）求 1 2 0 ln(1 ) (2 ) x dx x    （2）设 z  f (2x  y, y sin x) ，其中 f (u,v) 具有连续的二阶偏导数，求 2 z x y    。 （3）求微分方程 '' ' 2 4 4 x y y y e    的通解（一般解） （1）【答案】 1 ln 2. 3 . 【解析】分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不 出结果来。在做题的时候应该好好总结，积累经验。 假定u  u(x) 与v  v(x) 均具有连续的导函数，则 uv 'dx  uv  u 'vdx,   或者 udv  uv  vdu.   由 2 2 1 1 (2 ) (2 ) ( ) (2 ) 2 dx x d x d x x         有 原式 1 1 0 0 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) ( ) 2 2 0 2 1 x dx x d x x x x           分部法  因为，由分项法 1 1 1 1 1 ( ) 2 x 1 x 3 2 x 1 x        所以，原式 1 0 1 1 1 ln 2 ( ) 3 2 1 dx x x       1 1 0 0 1 1 ln 2 [ ln(2 ) ln(1 ) ] ln 2 3 3     x   x  . （2）【答案】 '' '' '' ' 11 12 22 2 2 f  (2sin x  y cos x) f  y sin x cos xf  cos xf . 【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求 z x   ，再求 ( ) z y x     ，如方法 1; 也可以先求 z y   ，再求 ( ) z x y     ，如方法 2

由复合函数求偏导的链式法则：如果函数u=p(x,y),v=y(x,y)都在点(x,J)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u.v）在对应点（u.v）具有连续偏导数，则复合函数z=f(p(x,J),y(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在，且有OzOz Ou.OzOvOuty17ax-ou axOvaxaxaxO= _ = QufavOzOvOuayQu dyOvayayay方法1：先求axOzad-(2x-y)+ J2-(ysinx)=2fi+ycosxf,axaxax8==%(2f +ycos xf.)axoyav%(2x-)+ %(ysin )+cos5 +(i/(2x-)+ C=20fi%-(ysinx)ycosxOyava=2(-ff+sin xfi2)+ cos xf2+(-f21 +sin xf22 )ycos x=-2f.+(2sinx-ycosx)fi+ysinxcosxf22+cosxf方法2：先求%ayOz-aO-(2x-y)+ f2-(ysinx)=-fi +sinxf,ayayOy三=%(-f +sin对)axoyOxa--i -i .a.a(ysinx)+cos 对f +(%((2x-y)+J2x(ysinx))-sinx=-(2f+ycosxfi2)+cosxf, +(2f2 +ycosxf22)-sin x=-2fi+(2sinx-ycosx)fiz+ysinxcosxf22+cosxfe-2x（3）【答案】所求通解为J=(C,+C,x)e-2其中C,C,为常数.2【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程

由复合函数求偏导的链式法则：如果函数u (x, y),v  (x, y)都在点(x, y)具有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z  f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 z  f ((x, y), (x, y)) 在点(x, y)的两个偏导数存在，且有 ' ' 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x                   ； ' ' 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y                   . 方法 1：先求 z x   ， ' ' ' ' 1 2 1 2 (2 ) ( sin ) 2 cos z f x y f y x f y xf x x x            。 2 ' ' 1 2 (2 cos ) z f y xf x y y        '' '' ' '' '' 11 12 2 21 22 2( f (2x y) f ( y sin x)) cos xf ( f (2x y) f ( y sin x)) y cos x y y y y                '' '' ' '' '' 11 12 2 21 22  2( f  sin xf )  cos xf  ( f  sin xf ) y cos x '' '' '' ' 11 12 22 2  2 f  (2sin x  y cos x) f  y sin x cos xf  cos xf 方法 2：先求 z y   ， ' ' ' ' 1 2 1 2 (2 ) ( sin ) sin z f x y f y x f xf y y y             2 ' ' 1 2 ( sin ) z f xf x y x         '' '' ' '' '' 11 12 2 21 22 ( f (2x y) f ( y sin x)) cos xf ( f (2x y) f ( y sin x)) sin x x x x x                  '' '' ' '' '' 11 12 2 21 22  (2 f  y cos xf )  cos xf  (2 f  y cos xf )sin x '' '' '' ' 11 12 22 2  2 f  (2sin x  y cos x) f  y sin x cos xf  cos xf . （3）【答案】所求通解为 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 x x y C C x e x e      其中 1 2 C C, 为常数. 【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程