(2)利用对称性简化计算 (1)当L对称于x轴时, P(, y)dx P(x, -y=-P(,y) J, P(x, D)dx=3 0 P(, - y)=P(x, y) (2)当L对称于y轴时, SLecx, ydy=4i o(x, y)dy @(x, D)==Q(x, y oCx,y)=o(,y) K心
(2) 利用对称性简化计算 (1) 当L对称于x轴时, − = − = − = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P x y P x y P x y dx P x y P x y P x y dx L L 上 (2) 当L对称于y轴时, − = − = − = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Q x y Q x y Q x y dy Q x y Q x y Q x y dy L L 右
4对坐标的曲线积分的应用: Pdx +ody W=SF. ds=3 Pax +ody+ rdz 5两类曲线积分的关系: ∫Pdx+Q=(Pesa+Qc0s月) 其中cosa, COS BEL在(x,y)处的切向量的方向余弦 fPAx +ody+Rdz=r(Pcosa+@cos B+Cosr)ds cosa,c0s月,c0s?是在(x,y,z)处的切向量的方向余弦 K心
4.对坐标的曲线积分的应用: = L W F ds + + + = Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy L 5.两类曲线积分的关系: + = + L L Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds 其中cos,cos 是L在(x, y)处的切向量的方向余弦. Pdx + Qdy + Rdz = (Pcos + Qcos + Rcos )ds cos,cos ,cos是在(x, y,z)处的切向量的方向余弦
对面积的曲面积分 定义:∫f(x,y,z)s=im∑f(5,m,5)AS ->0 2对面积的曲面积分的性质: (1)f(x,y)±g(x,y)s=小∫(x,y)S±g(x,y)S ()0(x,y)s=k(x,y)S(为常数 (3),f(x,y)dS=[5. f(x,y)dS+[.f(,y)dS CΣ=Σ1+Σ2) (4)S=S 第一类曲面积分与曲面的方向无关! K心
三. 对面积的曲面积分 1.定义: ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 → = = n i i i i Si f x y z dS f 2.对面积的曲面积分的性质: (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . f x y g x y dS = f x y dS g x y dS (2) kf (x, y)dS k f (x, y)dS (k为常数). = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 f x y dS = f x y dS + f x y dS ( ). = 1 + 2 (4) . S = dS 第一类曲面积分与曲面的方向无关!
3对面积的曲面积分的计算: (1)直接计算法:方法:一投影二代三换 (a)若光滑曲面为Σ:z=x(x,y)(x,y)∈Dy 则∫∫(x,,)S=』x,z(x,y)1+2+231d D (b)若光滑曲面为2:x=x(y,zy,z)∈Dyz, 则∫f(x,,)S=』月x(,),小1+x2+2h (c)若光滑曲面为Σ:y=y(x,x)(z,x)∈Dx 则∫(x,yx)=』x,y(,x,z+2+2t K心
3.对面积的曲面积分的计算: (1) 直接计算法: 方法：一投影二代三换 ( ) : ( , ),( , ) , Dxy a 若光滑曲面为 z = z x y x y ( , , ) [ , , ( , )] 1 . 2 2 = + + Dxy 则 f x y z dS f x y z x y zx z ydxdy ( ) : ( , ),( , ) , Dyz b 若光滑曲面为 x = x y z y z ( , , ) [ ( , ), , ] 1 . 2 2 = + + Dyz 则 f x y z dS f x y z y z xy xz dydz ( ) : ( , ),( , ) , x Dzx c 若光滑曲面为 y = y z x z ( , , ) [ , ( , ), ] 1 . 2 2 = + + Dzx 则 f x y z dS f x y z x z yx yz dzdx
(d)一般地,向投影区域易找且面积非0的坐标面投影 K心
(d) 一般地, 向投影区域易找且面积非 0 的坐标面投影