山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.1定义与基本性质
9.1 定义与基本性质
加求理工大 主要内容 。内积 长度 夹角 。度量矩阵
主要内容 内积 长度 度量矩阵 夹角
山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、内积 1.定义 定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二 元实函数，如果它具有以下性质，则称为内积，记作(，B) 1)对称性 (&,B)=(B,x); 2)线性性 (ka,B)=k(a,B); 3)线性性 (a+B,Y)=(a,Y)+(B,Y) 4)正定性 (,)≥0，当且仅当C=0时(a,)=0
一、内积 1. 定义 定义1 设𝑉是实数域𝑅上一线性空间，在𝑉上定义了一个二 元实函数，如果它具有以下性质，则称为内积，记作 𝛼, 𝛽 . 4) 正定性 𝛼, 𝛼 ≥ 0，当且仅当 𝛼 = 0时 𝛼, 𝛼 = 0. 1) 对称性 (𝛼, 𝛽) = (𝛽, 𝛼)； 2) 线性性 𝑘𝛼, 𝛽 = 𝑘 𝛼, 𝛽 ； 3) 线性性 𝛼 + 𝛽, 𝛾 = 𝛼, 𝛾 + (𝛽, 𝛾)
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这里，B,Y是V中任意的向量，飞是任意实数，这样的线性 空间V称为欧几里得空间，简称为欧氏空间. ·在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的， ·几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间·
这里 𝛼, 𝛽, 𝛾 是 𝑉 中任意的向量，𝑘 是任意实数，这样的线性 空间 𝑉 称为欧几里得空间,简称为欧氏空间. • 在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的. • 几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在线性空间R中，对于向量 a=(a1,a2,.,an),B=(b1,b2,.,bn), 定义内积 (a,β)=a1b1+a2b2+.+anbn. (1) 显然，内积()适合定义中的条件，这样，R”就成为一个 欧几里得空间.以后仍用Rn来表示这个欧几里得空间. ·在几=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式：
例 1 在线性空间 𝑅𝑛 中，对于向量 𝛼 = (𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 ) , 𝛽 = (𝑏1 , 𝑏2 , ⋯ , 𝑏𝑛 ) , 定义内积 𝛼, 𝛽 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 . (1) 显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样，𝑅 𝑛就成为一个 欧几里得空间. 以后仍用 𝑅𝑛 来表示这个欧几里得空间. • 在 𝑛 = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式