山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.4 特征值与特征向量
7.4 特征值与特征向量
G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。矩阵的特征值与特征向量 。线性变换的特征值与特征向量 特征子空间 性质
主要内容 矩阵的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 特征子空间 性质
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、矩阵的特征值特征向量 在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可 以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给 定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最 简单的形式一一对角矩阵. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，从而一个 线性变换是否存在一组基使得它的矩阵是一个对角矩阵的问 题和一个矩阵是否相似于一个对角矩阵是同一个问题
一、矩阵的特征值特征向量 在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可 以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给 定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最 简单的形式 ——对角矩阵. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，从而一个 线性变换是否存在一组基使得它的矩阵是一个对角矩阵的问 题和一个矩阵是否相似于一个对角矩阵是同一个问题．
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设n阶方阵A相似于一个对角矩阵A=diag(1,几2，.，几n), 即存在可逆矩阵X,使得 X-1AX=△ AX=XA 将X按列分块，记作X=(a1,2,.,n),则 /7入1 A(1,2,.,Qn)=(Q1,2,.,n)
设 𝑛 阶方阵 𝐴 相似于一个对角矩阵Λ = diag 𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝑛 ， 𝑋 −1𝐴𝑋 = Λ 𝐴𝑋 = 𝑋Λ 将𝑋按列分块，记作𝑋 = (𝛼1 ,𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛)，则 𝐴(𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛) = (𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ ,𝛼𝑛) 𝜆1 𝜆2 ⋱ 𝜆𝑛 即存在可逆矩阵𝑋，使得
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Ay=10=1,2,.,n) 1、定义 定义1设A是一个n阶方阵，如果存在数入和n维非零 列向量，使得 Aa=λa, 则称入是一个特征值，非零列向量称为矩阵A的属于特 征值入的一个特征向量
𝐴𝛼𝑗 = 𝜆𝑗𝛼𝑗 (𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛) 1、定义 定义1 设 𝐴 是一个 𝑛 阶方阵，如果存在数 𝜆 和 𝑛 维非零 列向量𝛼，使得 𝐴𝛼 = 𝜆𝛼, 则称 𝜆 是一个特征值， 非零列向量𝛼称为矩阵 𝐴 的属于特 征值 𝜆 的一个特征向量