山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.7 向量到子空间的距离 ·最小二乘法
9.7 向量到子空间的距离 ·最小二乘法
山求濯工大深 一、 距离的定义 定义1长度|心一B1称为向量心和B的距离，记为 d(a,B). ·距离的基本性质： 1)d(a,B)=d(B,x); 2)d(,B)≥0，并且仅当a=B时等号才成立； 3)d(a,β)≤d(a,y)+d(y,β)（三角不等式）
一、距离的定义 • 距离的基本性质：
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、向量到子空间各向量间的最短距离 在几何中我们知道一个点到一个平面（或一条直线）上所有点 的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空 间中各向量的距离也是以“垂线最短”. 先设一个子空间W,它是由向量1，Q2,.,Ck所生成，即 W=L(1,2,.,k).说一个向量&垂直于子空问W,就 是指向量垂直于W中任何一个向量
二、向量到子空间各向量间的最短距离 在几何中我们知道一个点到一个平面(或一条直线)上所有点 的距离以垂线最短. 下面可以证明一个固定向量和一个子空 间中各向量的距离也是以“垂线最短”
山求濯工大深 容易验证心垂直于W的充分必要条件是（⊥Ci, (1,2,.,力. 现在来证明向量到子空间各向量间的距离以垂线最短 设B是给定的一向量，Y是W中的向量，且满足B-Y 垂直于W.要证明B到W中各向量的距离以垂线最短， 就是要证明，对W中任一向量6，有 Iβ-Y≤IB-δ|
( ᵯ= 1, 2, ⋯ , ᵯ) . 现在来证明向量到子空间各向量间的距离以垂线最短
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 0.0 0-0 W 0-0 图9-2
- - - W 图 9-2